Topologia della retta reale
Ciao a tutti!
Finalmente ho iniziato l'Università e finalmente abbiamo iniziato a fare cose un po' più interessanti e un po' meno facili della solita insiemistica (non che sia inutile, ma si è pensato bene di rifarla da capo in ogni corso...). Ecco, abbiamo introdotto i primi elementi di topologia della retta reale: intorni di un punto, punti interni, punti di aderenza, aperti, chiusi ecc.
Dal momento che era la prima volta che sentivo queste definizioni sono rimasto un po' perplesso e mi sono messo a riflettere sul loro significato. In particolare mi sono chiesto che cos'è esattamente un aperto in $RR$, ossia quali sono tutti e i soli sottoinsiemi di $RR$ che rispondono alla definizione? A parte gli intervalli reali aperti (limitati ed illimitati) e l'unione di due o più intervalli aperti, c'è la possibilità di costruire sottoinsiemi di $RR$ che godono di questa proprietà?
Inoltre, partendo dall'osservazione che $QQ$ è solo di frontiera, ho pensato che una condizione necessaria (ma naturalmente non sufficiente) perché un sottoinsieme di $RR$ sia aperto è che esso sia anche continuo o unione di intervalli continui. Ho quindi anche pensato questo: dato un intervallo reale $I=(a,b)$ ed un suo sottoinsieme $P$ che soddisfi alcune condizioni, allora $I-P$ non può essere aperto.
Le condizioni a cui avrei pensato sono: $P$ deve essere infinito (l'idea originaria era che $P$ fosse numerabile); $a$ e $b$ non devono essere punti di accumulazione per $P$; se $c$ è un suo punto di accumulazione, allora $c \notin P$. Infatti, per il teorema di Weierstrass ($P$, essendo sottoinsieme di $I$, è limitato) ammette almeno un punto di accumulazione $c$; per ipotesi $c!=a$ e $c!=b$ ed inoltre $c \notin P$; allora in ogni intorno di $c$ conterrà un punto di P e quindi $I-P$ non può essere aperto.
La mia domanda è: secondo voi questo ragionamento è corretto? E se lo è, queste condizioni sono anche necessarie, oppure solo sufficienti?
Finalmente ho iniziato l'Università e finalmente abbiamo iniziato a fare cose un po' più interessanti e un po' meno facili della solita insiemistica (non che sia inutile, ma si è pensato bene di rifarla da capo in ogni corso...). Ecco, abbiamo introdotto i primi elementi di topologia della retta reale: intorni di un punto, punti interni, punti di aderenza, aperti, chiusi ecc.
Dal momento che era la prima volta che sentivo queste definizioni sono rimasto un po' perplesso e mi sono messo a riflettere sul loro significato. In particolare mi sono chiesto che cos'è esattamente un aperto in $RR$, ossia quali sono tutti e i soli sottoinsiemi di $RR$ che rispondono alla definizione? A parte gli intervalli reali aperti (limitati ed illimitati) e l'unione di due o più intervalli aperti, c'è la possibilità di costruire sottoinsiemi di $RR$ che godono di questa proprietà?
Inoltre, partendo dall'osservazione che $QQ$ è solo di frontiera, ho pensato che una condizione necessaria (ma naturalmente non sufficiente) perché un sottoinsieme di $RR$ sia aperto è che esso sia anche continuo o unione di intervalli continui. Ho quindi anche pensato questo: dato un intervallo reale $I=(a,b)$ ed un suo sottoinsieme $P$ che soddisfi alcune condizioni, allora $I-P$ non può essere aperto.
Le condizioni a cui avrei pensato sono: $P$ deve essere infinito (l'idea originaria era che $P$ fosse numerabile); $a$ e $b$ non devono essere punti di accumulazione per $P$; se $c$ è un suo punto di accumulazione, allora $c \notin P$. Infatti, per il teorema di Weierstrass ($P$, essendo sottoinsieme di $I$, è limitato) ammette almeno un punto di accumulazione $c$; per ipotesi $c!=a$ e $c!=b$ ed inoltre $c \notin P$; allora in ogni intorno di $c$ conterrà un punto di P e quindi $I-P$ non può essere aperto.
La mia domanda è: secondo voi questo ragionamento è corretto? E se lo è, queste condizioni sono anche necessarie, oppure solo sufficienti?
Risposte
La risposta alla tua domanda è questa: $P\sub(a,b)$ è tale che $(a,b)-P$ è aperto se e solo se $P$ è chiuso in $(a,b)$. Essere "chiuso in $(a,b)$" è una proprietà che si può definire in vari modi, non so quale sia la definizione che usi tu, se la posti poi possiamo snocciolare un po' questo fatto.
Detto questo,
Detto questo,
P deve essere infinito (l'idea originaria era che P fosse numerabile)non direi: prendi $1/2\in(0,1)$, e toglilo dall'intervallo, ottieni $(0,1)-{1/2}$ che se ci pensi un attimo è un aperto in $(0,1)$. Io ti consiglio, per ragionare su questo fatto, di usare solo strumenti più elementari (lascia perdere il teorema di Weierstrass e simili).
"maurer":
In particolare mi sono chiesto che cos'è esattamente un aperto in $RR$, ossia quali sono tutti e i soli sottoinsiemi di $RR$ che rispondono alla definizione? A parte gli intervalli reali aperti (limitati ed illimitati) e l'unione di due o più intervalli aperti, c'è la possibilità di costruire sottoinsiemi di $RR$ che godono di questa proprietà?
Un sottoinsieme $U$ di $RR$ è aperto se e solo se è riunione di intervalli aperti.
Infatti, se $U$ è riunione di intervalli aperti, allora è certamente aperto.
Viceversa, se $U$ è aperto, allora per ogni $x\in U$ esiste un intervallo aperto $I_x$ tale che $x\in I_x\subseteq U$, di conseguenza
$U=\bigcup_{x\in U}I_x$.
"dissonance":
prendi $1/2\in(0,1)$, e toglilo dall'intervallo, ottieni $(0,1)-{1/2}$ che se ci pensi un attimo è un aperto in $(0,1)$
Sono d'accordo con te, infatti $(0,1)-{1/2}=(0,1/2) \uu (1/2,1)$; tuttavia, forse mi sono espresso male, ma mi sembra che le ipotesi che ho postato escludessero quest'eventualità. Infatti, in questo caso $P={1/2}$ e di sicuro $P$ non è infinito...
Per quanto riguarda la definizione di chiuso in $RR$, in classe abbiamo usato questa: un sottoinsieme $I$ di $RR$ si dice chiuso se il suo complementare è un aperto; direi però che in questo caso non serva a molto, si finirebbe in un circolo. Ne abbiamo anche dato una formulazione alternativa: un sottoinsieme di $RR$ si dice chiuso se tutti i suoi punti di aderenza gli appartengono.
@ficus2002
Mi è chiaro il tuo ragionamento. Ho però un altro dubbio: a noi è stata data come proprietà degli aperti il fatto che l'unione di una qualsiasi famiglia ${A_i}_(i \in J)$ di aperti è aperta (e che l'intersezione di un numero finito di aperti è aperta). Immagino che queste proprietà possano essere dimostrate. Non è però che abbia molte idee su come dimostrare che l'unione infinita di aperti è un aperto. Si può comunque fare con gli strumenti forniti da Analisi 1?
Si può fare tutto, non con gli strumenti forniti da Analisi 1 ma con i soli strumenti di teoria degli insiemi che dicevi all'inizio. In effetti quella fornita da ficus2002 potrebbe essere presa come definizione di aperto ($U\subRR$ è aperto $iff$ $\exists{I_alpha}$ famiglia di intervalli aperti t.c. $U=uu_alphaI_alpha$), oppure se ne può dimostrare l'equivalenza con quest'altra: ($U\subRR$ è aperto $iff$ $\forallx\inU, \existsU(x)$ intervallo aperto, $x\inU(x), U(x)\subU$). Se adesso prendi una famiglia di aperti, cioè una famiglia di insiemi che verificano la prima definizione, puoi facilmente verificare che anche l'unione verifica la prima definizione, ovvero:
l'unione di una famiglia qualsiasi di aperti è un aperto.
Questo lo posto per dare un'idea di che tipo di approccio, più "insiemistico", si può avere con queste cose. Spero di essere utile! Invece, per quanto riguarda la domanda originale, non riesco a seguirti: se hai voglia prova a riformularla da zero.
l'unione di una famiglia qualsiasi di aperti è un aperto.
Questo lo posto per dare un'idea di che tipo di approccio, più "insiemistico", si può avere con queste cose. Spero di essere utile! Invece, per quanto riguarda la domanda originale, non riesco a seguirti: se hai voglia prova a riformularla da zero.
Credo di essere riuscito a dimostrare che se $A$ e $B$ sono aperti allora $A \uu B$ è aperto. Magari poi posto la mia dimostrazione, così se qualcuno ne ha voglia può dirmi se è corretta o meno.
Provo a riformulare la domanda originale. Sia $I=(a,b)$ un intervallo reale e sia $P\subI$ un suo sottoinsieme infinito; inoltre $a$ e $b$ non sono punti di accumulazione per $P$ e se un certo $c \in I$ è un punto di accumulazione per $P$, allora $c \notin I$. Allora sotto queste condizioni $I-P$ non può essere aperto.
Posto anche il ragionamento che mi ha portato a fare quest'affermazione. Se $c$ è di accumulazione per $P$, allora in tutti gli intorni di $c$ si trova almeno un punto $p$ di $P$. Consideriamo ora $I-P$; dal momento che per ipotesi $c\notinP$ allora $c\inI-P$; d'altronde in ogni intorno di $c$ c'è un punto $p\inP$, ossia c'è un punto $p$ tale che $p\notinI-P$. Ma allora ogni intorno $U$ di $c$ non potrà mai essere contenuto in $I-P$ e quindi $c$ non può essere interno a $I-P$; ne segue che c'è un punto di $I-P$, $c$, che non è interno a $I-P$; ma allora $I-P$ non può essere aperto.
Mi ero anche fatto un esempio, prendendo $I=(a,b)$, $c=(a+b)/2$ e $P={c+(b-a)/2^n,n\inNN^+}$.
E' più comprensibile questa volta?
Provo a riformulare la domanda originale. Sia $I=(a,b)$ un intervallo reale e sia $P\subI$ un suo sottoinsieme infinito; inoltre $a$ e $b$ non sono punti di accumulazione per $P$ e se un certo $c \in I$ è un punto di accumulazione per $P$, allora $c \notin I$. Allora sotto queste condizioni $I-P$ non può essere aperto.
Posto anche il ragionamento che mi ha portato a fare quest'affermazione. Se $c$ è di accumulazione per $P$, allora in tutti gli intorni di $c$ si trova almeno un punto $p$ di $P$. Consideriamo ora $I-P$; dal momento che per ipotesi $c\notinP$ allora $c\inI-P$; d'altronde in ogni intorno di $c$ c'è un punto $p\inP$, ossia c'è un punto $p$ tale che $p\notinI-P$. Ma allora ogni intorno $U$ di $c$ non potrà mai essere contenuto in $I-P$ e quindi $c$ non può essere interno a $I-P$; ne segue che c'è un punto di $I-P$, $c$, che non è interno a $I-P$; ma allora $I-P$ non può essere aperto.
Mi ero anche fatto un esempio, prendendo $I=(a,b)$, $c=(a+b)/2$ e $P={c+(b-a)/2^n,n\inNN^+}$.
E' più comprensibile questa volta?
La proposizione che hai postato tu è vera. La condizione è solo necessaria e non sufficiente, ma è quasi sufficiente. Mentre il ragionamento che hai seguito nella dimostrazione mi pare vada bene. E anche il tuo $P$ ha il complementare non aperto.
Ora, se vuoi avere la massima generalità, prova (se hai voglia, eh!) ad applicare di nuovo il discorso che hai appena fatto per dimostrare questa proposizione:
sia $P\sub(-infty, infty)$. Allora il complementare di $P$, $(-infty, infty)-P$ è aperto se e solo se $P$ contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
ovvero l'equivalenza tra le due definizioni di "insieme chiuso" che tu hai.
P.S.: ho preso come intervallo tutto $RR$ per semplicità, poi si può riscrivere facilmente per intervalli limitati.
Ora, se vuoi avere la massima generalità, prova (se hai voglia, eh!) ad applicare di nuovo il discorso che hai appena fatto per dimostrare questa proposizione:
sia $P\sub(-infty, infty)$. Allora il complementare di $P$, $(-infty, infty)-P$ è aperto se e solo se $P$ contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
ovvero l'equivalenza tra le due definizioni di "insieme chiuso" che tu hai.
P.S.: ho preso come intervallo tutto $RR$ per semplicità, poi si può riscrivere facilmente per intervalli limitati.
Allora, io ci provo...
Mostriamo che se $P$ contiene tutti i suoi punti di accumulazione allora $RR-P$ è aperto. L'ipotesi può essere riscritta così: $AAx\inP,AAU_x text{ allora } U_x-{x}\nnP!=\phi$. Sia ora $a\inRR-P$; dal momento che se $a$ è punto di accumulazione per $P$ allora $a\inP$ segue che $a\notinRR-P$; d'altra parte se $a$ non è un punto di accumulazione per $P$ allora $EEV_a|V_a-{a}\nnP=\phi$. Inoltre si ha per ipotesi che $a\notinP$, quindi $V_a\nnP=\phi$ ugualmente. Il risultato precedente può essere riscritto così: $AAy text{ } y\inV_a=>y\notinP=>y\inRR-P$. Ma allora per ogni $a\inRR-P$ esiste un intorno di $a$ completamente contenuto in $RR-P$, ossia ogni punto di $RR-P$ gli è interno; segue che $RR-P$ è per definizione un aperto.
Mostriamo adesso che se $RR-P$ è aperto, allora $P$ contiene tutti i suoi punti di accumulazione. Se $RR-P$ è aperto, allora $AAx\inRR-PEEU_x\subRR-P$, ossia $AAy text{ }y\inU_x=>y\inRR-P=>y\notinP$; allora $x\inRR-P$ non può essere un punto di accumulazione per $P$ perché esiste un intorno $U_x$ tale che $U_x\nnP=\phi$. Supponiamo ora $a\notinRR-P=>a\inP$. Di sicuro possiamo dire che $a$ non è un punto interno a $RR-P$ perché per ipotesi $RR-P$ è un aperto; ma questo equivale a dire che $AAV_a text{ }V_a\notsubRR-P$, cioè $EEy\inV_a|y\notinRR-P=>y\inP$. Ma allora se $a$ è un elemento di $P$, allora ogni intorno di $a$ contiene un elemento $y$ di P, cioè $AAV_a text{ }V_a\nnP!=\phi$; quindi $a$ è un punto di aderenza per $P$; dal momento che tutti i punti di accumulazione sono di aderenza, allora $P$, contenendo tutti i suoi punti di aderenza, contiene anche tutti i suoi punti di accumulazione.
Segue la tesi.
Mi sorge però un dubbio...nella dimostrazione che ho fatto (ammesso che sia corretta) è sufficiente ma non necessario parlare di punti di accumulazione; infatti la dimostrazione si adatta al caso più generale dei punti di aderenza. Quindi non sarebbe più corretto dire che se, e solo se, $P$ contiene tutti i suoi punti di aderenza allora $RR-P$ è aperto?
Mostriamo che se $P$ contiene tutti i suoi punti di accumulazione allora $RR-P$ è aperto. L'ipotesi può essere riscritta così: $AAx\inP,AAU_x text{ allora } U_x-{x}\nnP!=\phi$. Sia ora $a\inRR-P$; dal momento che se $a$ è punto di accumulazione per $P$ allora $a\inP$ segue che $a\notinRR-P$; d'altra parte se $a$ non è un punto di accumulazione per $P$ allora $EEV_a|V_a-{a}\nnP=\phi$. Inoltre si ha per ipotesi che $a\notinP$, quindi $V_a\nnP=\phi$ ugualmente. Il risultato precedente può essere riscritto così: $AAy text{ } y\inV_a=>y\notinP=>y\inRR-P$. Ma allora per ogni $a\inRR-P$ esiste un intorno di $a$ completamente contenuto in $RR-P$, ossia ogni punto di $RR-P$ gli è interno; segue che $RR-P$ è per definizione un aperto.
Mostriamo adesso che se $RR-P$ è aperto, allora $P$ contiene tutti i suoi punti di accumulazione. Se $RR-P$ è aperto, allora $AAx\inRR-PEEU_x\subRR-P$, ossia $AAy text{ }y\inU_x=>y\inRR-P=>y\notinP$; allora $x\inRR-P$ non può essere un punto di accumulazione per $P$ perché esiste un intorno $U_x$ tale che $U_x\nnP=\phi$. Supponiamo ora $a\notinRR-P=>a\inP$. Di sicuro possiamo dire che $a$ non è un punto interno a $RR-P$ perché per ipotesi $RR-P$ è un aperto; ma questo equivale a dire che $AAV_a text{ }V_a\notsubRR-P$, cioè $EEy\inV_a|y\notinRR-P=>y\inP$. Ma allora se $a$ è un elemento di $P$, allora ogni intorno di $a$ contiene un elemento $y$ di P, cioè $AAV_a text{ }V_a\nnP!=\phi$; quindi $a$ è un punto di aderenza per $P$; dal momento che tutti i punti di accumulazione sono di aderenza, allora $P$, contenendo tutti i suoi punti di aderenza, contiene anche tutti i suoi punti di accumulazione.
Segue la tesi.
Mi sorge però un dubbio...nella dimostrazione che ho fatto (ammesso che sia corretta) è sufficiente ma non necessario parlare di punti di accumulazione; infatti la dimostrazione si adatta al caso più generale dei punti di aderenza. Quindi non sarebbe più corretto dire che se, e solo se, $P$ contiene tutti i suoi punti di aderenza allora $RR-P$ è aperto?
"maurer":Certo. E' esattamente la stessa cosa. Come notavi anche nella tua dimostrazione, i punti di accumulazione sono esattamente i punti di aderenza che non appartengono a P. Quindi:
Quindi non sarebbe più corretto dire che se, e solo se, P contiene tutti i suoi punti di aderenza allora ℝ-P è aperto?
(P contiene tutti i suoi punti di accumulazione) equivale a (P contiene tutti i suoi punti di aderenza).
In effetti è più semplice ragionare in termini di punti di aderenza.
Questo fatto dei punti di accumulazione invece dei punti di aderenza forse ti ha fatto un po' confondere (scusami!) perché nella seconda parte hai fatto dei passaggi in più, infatti arrivato a questo punto:
"maurer":avresti già potuto concludere: difatti se nessun punto di accumulazione di P può stare in $RR-P$, allora per forza devono stare tutti in P. Oppure P non ha punti di accumulazione, nel qual caso è vero a vuoto che "tutti i punti di accumulazione di P sono in P".
allora x∈ℝ-P non può essere un punto di accumulazione per P
Comunque la tua dimostrazione va benissimo. Anzi, in più hai dimostrato che ogni punto di accumulazione è un punto di aderenza, cosa parecchio utile perché ti permette di caratterizzare la chiusura di un insieme (=l'insieme dei punti di aderenza). Ti ho proposto questo esercizio perché quello che tu hai intuito all'inizio, ovvero come costruire insiemi il cui complementare non fosse aperto, era proprio una sorella piccola di questa proposizione. Questo modo di ragionare è molto importante perché ti permetterà di estendere la topologia della retta reale a spazi più generali.
Beh, allora ti ringrazio moltissimo, dissonance! Pian piano mi sto abituando a pensare in termini di aperti e chiusi (sulla retta reale)... In classe abbiamo solo fatto vedere che gli intervalli reali chiusi sono dei chiusi e che gli intervalli reali aperti sono degli aperti, ma non mi soddisfaceva proprio per nulla questo modo di pensare... immagino che non fosse abbastanza generale... avevo proprio paura che sarebbe stato riduttivo limitarsi a quanto detto all'Università. Beh, per un po' forse posso stare tranquillo, mi sa che non introdurremo più nuovi elementi topologici per un po'...
Alla prossima!
Alla prossima!
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