Topologia dei sottoinsiemi reali simmetrici rispetto all'origine e topologia naturale

[math_lover]

Ho alcuni dubbi sulle seguenti richieste.

Considerata la famiglia di tutti i sottoinsiemi reali che sono simmetrici rispetto all'origine dimostrare che si tratta di una topologia sull'insieme dei numeri reali. E' confrontabile con la topologia naturale?

Ho pensato che una famiglia siffatta è una topologia poiché soddisfa gli assiomi di topologia:
1) Contiene l'insieme vuoto e l'insieme dei numeri reali;
2) E' chiusa rispetto all'intersezione di due qualsiasi suoi elementi perché presi due sottoinsiemi reali A e B della famiglia in questione, se consideriamo un elemento x della loro intersezione, per definizione di intersezione, tale elemento appartiene sia ad A che a B e dunque anche il suo opposto vi appartiene per ipotesi; ne consegue che l'opposto di x appartiene all'intersezione di A e B, quindi l'intersezione di A e B è un'elemento della famiglia;
3) E' chiusa rispetto all'unione di una famiglia di suoi elementi per discorsi simili.

Adesso non mi è ben chiaro come fare a stabilire se la suddetta topologia è più o meno fine della topologia naturale.
La topologia naturale è la famiglia delle unioni di intervalli reali aperti. Come posso confrontare gli aperti delle due topologie?

Mi viene da dire che la topologia dei sottoinsiemi reali simmetrici rispetto all'origine è strettamente meno fine della topologia naturale ma non riesco ne a dimostrarlo formalmente ne a trovare un controesempio che prova che la topologia naturale non è inclusa nell'altra.

[gugo82]

Beh, pensa a qualche esempio che possa mostrare se c'è qualche elemento dell'una che non sia elemento dell'altra e v.v.

[math_lover]

Grazie per il suggerimento. Riflettendoci credo di aver trovato i controesempi di cui avevo bisogno per provare che le due topologie non sono confrontabili.

La topologia naturale non è inclusa nella topologia dei sottoinsiemi reali simmetrici rispetto all'origine perché, ad esempio, un aperto naturale è una qualsiasi semiretta sinistra aperta di vertice reale la quale non è simmetrica rispetto all'origine, dunque non è un aperto della topologia dei sottoinsiemi reali simmetrici rispetto all'origine.
Non vale neanche l'altra inclusione perché, ad esempio, l'insieme degli interi è simmetrico rispetto all'origine quindi è un aperto della topologia dei sottoinsiemi reali simmetrici rispetto all'origine ma non è un aperto naturale perché non contiene intervalli.

Vanno bene questi esempi?

[otta96]

"math_lover":un aperto naturale è una qualsiasi semiretta sinistra aperta di vertice reale la quale non è simmetrica rispetto all'origine, dunque non è un aperto della topologia dei sottoinsiemi reali simmetrici rispetto all'origine.

Sinceramente questa descrizione mi sembra molto confusa, non si capisce cosa tu voglia dire, prova ad essere più diretto, tipo $(0,1)$, o $(0,+\infty)$ vanno bene come esempi. L'altro esempio va bene.