Topologia: Connessi e Compatti
Salve a tutti, sono uno studente universitario della Facoltà di Matematica di Torino.
Sto preparando l'orale di Analisi complessa, e in uno dei teoremi che dovrei dimostrare, mi sono bloccato su una dimostrazione fatta da me. So che il risultato deve essere quello, ma mi manca una parte di geometria topologica per poterlo dimostrare.
Nel dettaglio, il risultato che dovrei ottenere è il seguente:
Dato $\Omega$ aperto connesso di $\RR^n$, data $f$ : $\CC\to\CC$ olomorfa in $\Omega$ tale per cui $f^{(1)}$ sia identicamente nulla su tutto $\Omega$, allora $f$ è costante.
Questa è la dimostrazione da me proposta:
Fisso $r>0$ e $a\in\CC$ / $D(a,r)\sube\Omega$. $D(a,r)$ è un compatto se considerato con la sua chiusura, ed è anche connesso, di conseguenza, per un altro risultato già dimostrato, so che in $D(a,r)$, $f$ è analitica, ovvero posso scrivere $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_{n}(z-a)^n$ , per opportuni coefficienti $a_{n}$ che dipendono dalla scelta di $D(a,r)$. $f$ è olomorfa, quindi di classe $C^{\infty}$ e $f^{(1)}(z)=\sum_{n=1}^\infty n a_{n}(z-a)^{n-1}$. Dal momento che $f^{(1)}$ è una serie di potenze convergente su tutto $D(a,r)$, ed è identicamente nulla, non può che essere che tutti i coefficienti $a_{n'}$ di $f^{(1)}$ sono nulli, ovvero $a_{n}=0 , \AA n \>= 1$. Ritornando all'espressione di $f$, ciò significa che $f(z)=a_{0} , \AA z \in D(a,r)$.
Quindi ho dimostrato che $f$ è costante in un generico disco preso dentro $\Omega$, scelgo ora un disco $D(a',r')$ con le stesse proprietà, aggiungendo l'ulteriore condizione che $D(a,r)\!=D(a',r')$ e $D(a,r)\nn D(a',r')\!=\emptyset$. Se tale secondo disco non esiste, non può che essere che $D(a,r)=\Omega$ e quindi avrei concluso la dimostrazione. Se esiste invece, concludiamo che $f(z)=a'_{0} , \AA z \in D(a',r')$. Ma per continuità di $f$, $a_{0}=a'_{0}$. Ho quindi esteso la "stazionarietà" di $f$ all'unione dei due dischi.
L'importante quesito che mi trovo a dovervi chiedere è dunque: dato $\Omega$ aperto connesso qualsiasi di $\RR^{n}$, esiste un suo ricoprimento di dischi compatti? (ovvero considerate anche le relative frontiere). Sono convinto di si, per il semplice motivo che è, secondo me, una conseguenza logica della proprietà di connessione in $\RR^{n}$ e del fatto che $\Omega$ sia un aperto e non un insieme qualunque. Ho provato ad utilizzare l'equivalenza in $\RR^{n}$ di connessione e connessione per archi, ma continua a mancarmi un passaggio formale.
E poi, se tale ricoprimento esiste, è sempre finito/numerabile?
Aiutatemi per favore!
Sto preparando l'orale di Analisi complessa, e in uno dei teoremi che dovrei dimostrare, mi sono bloccato su una dimostrazione fatta da me. So che il risultato deve essere quello, ma mi manca una parte di geometria topologica per poterlo dimostrare.
Nel dettaglio, il risultato che dovrei ottenere è il seguente:
Dato $\Omega$ aperto connesso di $\RR^n$, data $f$ : $\CC\to\CC$ olomorfa in $\Omega$ tale per cui $f^{(1)}$ sia identicamente nulla su tutto $\Omega$, allora $f$ è costante.
Questa è la dimostrazione da me proposta:
Fisso $r>0$ e $a\in\CC$ / $D(a,r)\sube\Omega$. $D(a,r)$ è un compatto se considerato con la sua chiusura, ed è anche connesso, di conseguenza, per un altro risultato già dimostrato, so che in $D(a,r)$, $f$ è analitica, ovvero posso scrivere $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_{n}(z-a)^n$ , per opportuni coefficienti $a_{n}$ che dipendono dalla scelta di $D(a,r)$. $f$ è olomorfa, quindi di classe $C^{\infty}$ e $f^{(1)}(z)=\sum_{n=1}^\infty n a_{n}(z-a)^{n-1}$. Dal momento che $f^{(1)}$ è una serie di potenze convergente su tutto $D(a,r)$, ed è identicamente nulla, non può che essere che tutti i coefficienti $a_{n'}$ di $f^{(1)}$ sono nulli, ovvero $a_{n}=0 , \AA n \>= 1$. Ritornando all'espressione di $f$, ciò significa che $f(z)=a_{0} , \AA z \in D(a,r)$.
Quindi ho dimostrato che $f$ è costante in un generico disco preso dentro $\Omega$, scelgo ora un disco $D(a',r')$ con le stesse proprietà, aggiungendo l'ulteriore condizione che $D(a,r)\!=D(a',r')$ e $D(a,r)\nn D(a',r')\!=\emptyset$. Se tale secondo disco non esiste, non può che essere che $D(a,r)=\Omega$ e quindi avrei concluso la dimostrazione. Se esiste invece, concludiamo che $f(z)=a'_{0} , \AA z \in D(a',r')$. Ma per continuità di $f$, $a_{0}=a'_{0}$. Ho quindi esteso la "stazionarietà" di $f$ all'unione dei due dischi.
L'importante quesito che mi trovo a dovervi chiedere è dunque: dato $\Omega$ aperto connesso qualsiasi di $\RR^{n}$, esiste un suo ricoprimento di dischi compatti? (ovvero considerate anche le relative frontiere). Sono convinto di si, per il semplice motivo che è, secondo me, una conseguenza logica della proprietà di connessione in $\RR^{n}$ e del fatto che $\Omega$ sia un aperto e non un insieme qualunque. Ho provato ad utilizzare l'equivalenza in $\RR^{n}$ di connessione e connessione per archi, ma continua a mancarmi un passaggio formale.
E poi, se tale ricoprimento esiste, è sempre finito/numerabile?
Aiutatemi per favore!
Risposte
Non ti serve quella proprietà (anche se è vera e si chiama sigma-compattezza). Infatti, hai dimostrato correttamente che [tex]f[/tex] è localmente costante. Ma (localmente costante + dominio connesso) implica (costante). Per dimostrarlo, basta la definizione di connessione, niente di più (prendi l'insieme dei punti su cui f assume un dato valore, dimostra che è aperto e chiuso contemporaneamente).
Mi puoi dare una dritta su quel tipo di dimostrazione? (chiuso e aperto contemporaneamente)
La topologia non è un mio punto forte...
La topologia non è un mio punto forte...
Parto da localmente costante. Comunque potevi semplicemente considerare palle aperte invece di compatti.
Ora sia \(\displaystyle p\in \Omega \) e \(\displaystyle f(p) = a \). Consideriamo quindi l'insieme \(\displaystyle B = f^{-1}(a) \) (dove con \(\displaystyle f^{-1} \) è intesa la controimmagine insiemistica e non l'inversa).
Ovviamente \(\displaystyle B \) contiene \(\displaystyle p \) e quindi è non vuoto. Inoltre è aperto perché la funzione è localmente costante. Dimostriamo quindi che è chiuso.
Sia \(\displaystyle b \) nella chiusura di \(\displaystyle B \). Allora possiede un intorno in cui la funzione è costante e che interseca \(\displaystyle B \) e quindi la funzione deve avere valore costante \(\displaystyle a \) in quell'intorno. Pertanto \(\displaystyle b\in B \) e \(\displaystyle B \) è chiuso.
P.S: Dovrei pensarci ma comunque il fatto che è chiuso poteva anche essere dedotto usando il fatto che \(\displaystyle \{a\} \) è chiuso ed \(\displaystyle f \) continua. Quindi \(\displaystyle B = f^{-1}(a) \) è chiuso perché controimmagine di un chiuso.
Ora sia \(\displaystyle p\in \Omega \) e \(\displaystyle f(p) = a \). Consideriamo quindi l'insieme \(\displaystyle B = f^{-1}(a) \) (dove con \(\displaystyle f^{-1} \) è intesa la controimmagine insiemistica e non l'inversa).
Ovviamente \(\displaystyle B \) contiene \(\displaystyle p \) e quindi è non vuoto. Inoltre è aperto perché la funzione è localmente costante. Dimostriamo quindi che è chiuso.
Sia \(\displaystyle b \) nella chiusura di \(\displaystyle B \). Allora possiede un intorno in cui la funzione è costante e che interseca \(\displaystyle B \) e quindi la funzione deve avere valore costante \(\displaystyle a \) in quell'intorno. Pertanto \(\displaystyle b\in B \) e \(\displaystyle B \) è chiuso.
P.S: Dovrei pensarci ma comunque il fatto che è chiuso poteva anche essere dedotto usando il fatto che \(\displaystyle \{a\} \) è chiuso ed \(\displaystyle f \) continua. Quindi \(\displaystyle B = f^{-1}(a) \) è chiuso perché controimmagine di un chiuso.
Geniale l'ultima, non ci avevo minimamente pensato.
Comunque l'idea di prendere le palle aperte verte sul fatto che l'unione di aperti è un aperto e devono avere tutti almeno un punto in comune a coppie altrimenti sarebbe uno sconnesso? Se si, come faccio ad essere sicuro che generi esattamente tutto il connesso $\Omega$? (ovvero che mi basti un'unione numerabile di aperti contenuti in $\Omega$)
Comunque l'idea di prendere le palle aperte verte sul fatto che l'unione di aperti è un aperto e devono avere tutti almeno un punto in comune a coppie altrimenti sarebbe uno sconnesso? Se si, come faccio ad essere sicuro che generi esattamente tutto il connesso $\Omega$? (ovvero che mi basti un'unione numerabile di aperti contenuti in $\Omega$)
No, non lavori con unioni di aperti.
Ricapitolando:
1. Usi il fatto che olomorfa equivale ad analitica per dire che ogni punto di \(\Omega\) ha un intorno in cui è uguale ad una serie formale (quella scritta anche da te).
2. Siccome la derivata è nulla su tutto l'intervallo; deduci che la funzione deve essere costante su quell'intervallo.
3. Prendi un punto qualsiasi e costruisci l'insieme \(B\) come ho scritto sopra. A quel punto dimostri che è sia aperto che chiuso.
Ricapitolando:
1. Usi il fatto che olomorfa equivale ad analitica per dire che ogni punto di \(\Omega\) ha un intorno in cui è uguale ad una serie formale (quella scritta anche da te).
2. Siccome la derivata è nulla su tutto l'intervallo; deduci che la funzione deve essere costante su quell'intervallo.
3. Prendi un punto qualsiasi e costruisci l'insieme \(B\) come ho scritto sopra. A quel punto dimostri che è sia aperto che chiuso.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo