Topologia classi laterali
Ciao, amici! Trovo scritto che, se $H$ è un sottogruppo del gruppo topologico* $G$, l'insieme \(G/H\) delle classi laterali destre (rispettivamente sinistre) è uno spazio topologico con la topologia quoziente. Nonostante il mio libro dica che "è facile verificare che la proiezione \(p:G\to G/H\) è aperta", a me non sembra tanto banale.
Così come non mi sembra banale che, se $H$ è normale, cioè se $\forall x\in G\text{ }gH=Hg$, allora \(G/H\) è a sua volta un gruppo topologico, cioè che \(G/H×G/H\to G/H:(x',y')\mapsto x'y'^{-1}\) è continua.
Qualcuno sarebbe così gentile da darmi una dritta o un link a una dimostrazione di questi due fatti...? Ho cercato come un disperato tutta la mattina [EDIT: e il pomeriggio...], ma niente...
Grazie di cuore a tutti...
*uno spazio topologico tale cioè che l'applicazione \(G×G\to G:(x,y)\mapsto xy^{-1}\) è continua.
Così come non mi sembra banale che, se $H$ è normale, cioè se $\forall x\in G\text{ }gH=Hg$, allora \(G/H\) è a sua volta un gruppo topologico, cioè che \(G/H×G/H\to G/H:(x',y')\mapsto x'y'^{-1}\) è continua.
Qualcuno sarebbe così gentile da darmi una dritta o un link a una dimostrazione di questi due fatti...? Ho cercato come un disperato tutta la mattina [EDIT: e il pomeriggio...], ma niente...
Grazie di cuore a tutti...
*uno spazio topologico tale cioè che l'applicazione \(G×G\to G:(x,y)\mapsto xy^{-1}\) è continua.
Risposte
Procediamo passo per passo: considerato un sottoinsieme aperto \(A\) di \(G\), sei in grado di scrivere \(p(A)\) come una unione di insiemi?
\(\text{Grazie}_n\) con $n$ molto grande...
Avevo cercato di arrivare alla dimostrazione considerando che, se $A=A'\cup A''$ dove $A'$ è l'insieme dei rappresentanti delle classi di equivalenza e $A''$ è l'insieme di tutti gli $a\in A$ tali che $a=ha'$ per qualche $a'\in A'$ e $h\in H$, allora direi proprio che si possa considerare \(p(A)=A'\), ma non so perché $A'$ debba essere necessariamente aperto in \(G/H\)...
Un altro modo per scrivere \(p(A)\) è vederlo come \(p(\bigcup_{j\in J}B_j)\) dove i $B_j$ sono aperti della base di $G$...
\(\text{Grazie}_{n+1}\)...
Avevo cercato di arrivare alla dimostrazione considerando che, se $A=A'\cup A''$ dove $A'$ è l'insieme dei rappresentanti delle classi di equivalenza e $A''$ è l'insieme di tutti gli $a\in A$ tali che $a=ha'$ per qualche $a'\in A'$ e $h\in H$, allora direi proprio che si possa considerare \(p(A)=A'\), ma non so perché $A'$ debba essere necessariamente aperto in \(G/H\)...
Un altro modo per scrivere \(p(A)\) è vederlo come \(p(\bigcup_{j\in J}B_j)\) dove i $B_j$ sono aperti della base di $G$...
\(\text{Grazie}_{n+1}\)...
Per la definizione di topologia quoziente, $A' = p(A)$ è aperto se e solo se la sua preimmagine attraverso $p$ è aperta in $G$. Dunque vogliamo dimostrare che $p^{-1}(p(A))$ è aperto per ogni $A$ aperto di $G$. Prova a scriverti questa preimmagine come unione di aperti di $G$ sfruttando la definizione di classe laterale.
Grazie anche a te, Pappappero!!!! 
Direi che, chiamando sempre \(A'=p(A)\) l'insieme dei rappresentanti delle classi laterali contenuti in $A$, che \(p^{-1}(A')=p^{-1}(p(A))=\bigcup_{h\in H}hA'\) (noto anche che $A'$ è nell'unione perché l'identità $e\in H$), ma non so se questo è aperto in $G$...
Grazie l'$n+2$-esima volta a tutti e due...
Direi che, chiamando sempre \(A'=p(A)\) l'insieme dei rappresentanti delle classi laterali contenuti in $A$, che \(p^{-1}(A')=p^{-1}(p(A))=\bigcup_{h\in H}hA'\) (noto anche che $A'$ è nell'unione perché l'identità $e\in H$), ma non so se questo è aperto in $G$...
Grazie l'$n+2$-esima volta a tutti e due...
A questo punto devi studiare la mappa:\[\lambda_h:g\in G\to hg^{-1}\in G\] ove \(h\in G\) è fissato!
P.S.: Sono abituato coi gruppi di Lie e colle varietà abeliane, per cui non ti da fastidio se parlo di mappe e non di funzioni\applicazioni?
P.S.: Sono abituato coi gruppi di Lie e colle varietà abeliane, per cui non ti da fastidio se parlo di mappe e non di funzioni\applicazioni?
Direi che è continua per la continuità di \(G×G\to G:(x,y)\mapsto xy^{-1}\), biunivoca, con inversa continua \(\lambda_h^{-1}:g^{-1}h\), in una parola un omeomorfismo, aperto (e anche chiuso) per definizione, quindi se \(A\) è un aperto, \(\bigcup_{h\in H}h A\) è un aperto, perciò lo è \(p(A)\) e quindi $p$ è aperta.
Analogamente direi che si possa utilizzare la mappa (nessun problema per la differenza lessicale) \(g\mapsto gh\) per dimostrare che la proiezione naturale sullo spazio topologico delle classi laterali, stavolta, destre \(G/H\).
Conseguentemente, dato che, tenendo conto della commutatività dell'azione del sottogruppo normale $H$, la controimmagine rispetto all'applicazione $f·p$ dove \( f: G/H×G/H\to G/H:(x',y')\mapsto x'y'^{-1} \) di un punto della forma \(x'y'^{-1}\in G/H\) è \(\bigcup_{h\in H}x×\bigcup_{h\in H}y\), da cui, data la continuità di \(G×G\to G:(x,y)\mapsto xy^{-1}\) e l'apertura di $p$, segue la continuità di $f$, che significa che, con $H$ normale, \(G/H\) è un sottogruppo.
Spero di non aver detto stupidate...
Grazie di cuore a tutti e due!!!!
Analogamente direi che si possa utilizzare la mappa (nessun problema per la differenza lessicale) \(g\mapsto gh\) per dimostrare che la proiezione naturale sullo spazio topologico delle classi laterali, stavolta, destre \(G/H\).
Conseguentemente, dato che, tenendo conto della commutatività dell'azione del sottogruppo normale $H$, la controimmagine rispetto all'applicazione $f·p$ dove \( f: G/H×G/H\to G/H:(x',y')\mapsto x'y'^{-1} \) di un punto della forma \(x'y'^{-1}\in G/H\) è \(\bigcup_{h\in H}x×\bigcup_{h\in H}y\), da cui, data la continuità di \(G×G\to G:(x,y)\mapsto xy^{-1}\) e l'apertura di $p$, segue la continuità di $f$, che significa che, con $H$ normale, \(G/H\) è un sottogruppo.
Spero di non aver detto stupidate...
Grazie di cuore a tutti e due!!!!
Tutto corretto, modulo alcune correzioni tecniche nei termini e nelle notazioni che lascio a te!
P.S.: Ti chiedo un parere su questo mio post, da pubblicare lì se vuoi!
P.S.: Ti chiedo un parere su questo mio post, da pubblicare lì se vuoi!
"j18eos":
Tutto corretto, modulo alcune correzioni tecniche nei termini e nelle notazioni che lascio a te!
Mmh... "Commutatività dell'azione del sottogruppo normale $H$" non l'ho mai trovato scritto e con esso volevo dire che $\forall h\in H,g\in G\text{ }hg=gh$, quindi questa credo sia un'improprietà terminologica...
Per quanto riguarda le notazioni, non saprei... Forse che \(f: G/H×G/H\to G/H:(x',y')\mapsto x'y'^{-1}\) con due volte i ":" non si può scrivere?
"j18eos":
Ti chiedo un parere su questo mio post, da pubblicare lì se vuoi!
Mi fa onore che tu mi chieda un parere (tu a me???!!!)...
ma mi sa che mi sopravvaluti... 
Non avevo neanche mai realizzato che l'applicazione \(B\in GL_n(\mathbb{R})\to B^{-1}\in GL_n(\mathbb{R})\) dove \(GL_n(\mathbb{R})\) ha la topologia indotta dalla topologia euclidea su \(\mathbb{R}^{n^2}\) è continua, cosa che mi sembra evidente pensando alla costruzione dell'inversa con la regola di Cramer.
Lo metto nei segnalibri, in modo da cercare di capirlo -non vedo l'ora, oltretutto la domanda di ZetaFunction è interessantissima sia affrontata con gli strumenti dell'algebra lineare sia con quelli della topologia...- quando avrò approfondito il concetto di connessione, che ho affrontato solo di striscio nei miei studi di analisi e che conto di studiare più a fondo sul Sernesi, che è il testo di geometria che sto seguendo.
\(+\infty\) grazie ancora!!!
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