Topologia algebrica: completi e omeomorfismi
ok ciao a tutti sappiate che è il mio primo intervento quindi scusate i possibili errori....
cmq ho un paio di domande di topologia algebrica:
1-so che uno spazio topologico è completo se in esso ogni successione di cauchy è convergente....ma in parole povere come faccio a stabilire se è completo o no?
2-come faccio a stabilire se due insiemi sono omeomorfi tra loro?
grazie a tutti risponde per favore...
cmq ho un paio di domande di topologia algebrica:
1-so che uno spazio topologico è completo se in esso ogni successione di cauchy è convergente....ma in parole povere come faccio a stabilire se è completo o no?
2-come faccio a stabilire se due insiemi sono omeomorfi tra loro?
grazie a tutti risponde per favore...
Risposte
3- come faccio a dimostrare un teorema?? 
Alberto86 se fai così il nuovo arrivato lo spaventi solamente. Perchè non provi a chiarire quello che intendevi con la battuta? Vuol essere solo un suggerimento....
ahahah come siete simpatici.... 
per quanto le mie domande possano sembrare banali evidentemente per me non lo sono!
se volete commentere e aiutarmi seriamente mi fa piacere se no evitate almeno di sfottere grazie!
grazie dell'aliuto megan00b ma non mi spavento per così poco!
per quanto le mie domande possano sembrare banali evidentemente per me non lo sono!
se volete commentere e aiutarmi seriamente mi fa piacere se no evitate almeno di sfottere grazie!
grazie dell'aliuto megan00b ma non mi spavento per così poco!
Una osservazione tecnica:
la prima domanda non è di topologia algebrica, ma di topologia generale.
Detto questo, in effetti quella domanda è un po' troppo generica. Non ci sono "ricette universali" per sapere se uno spazio metrico è completo.
Ci sono dei criteri "facili", come ad esempio: un sottoinsieme chiuso di uno spazio metrico completo è completo. E cose simili.
la prima domanda non è di topologia algebrica, ma di topologia generale.
Detto questo, in effetti quella domanda è un po' troppo generica. Non ci sono "ricette universali" per sapere se uno spazio metrico è completo.
Ci sono dei criteri "facili", come ad esempio: un sottoinsieme chiuso di uno spazio metrico completo è completo. E cose simili.
Nel caso della domanda 1) è più facile di solito trovare una successione di cauchy che non è convergente (quindi dimostri la falsità dell'asserto) e come dice giustamente il maestro Fioravante (il mio è un complimento, non un epiteto critico) non ci sono ricette universali, ma variano da esercizio ad esercizio.
Per la domanda 2) dovresti trovare una funzione continua che ha inversa anche essa continua tra i due insiemi che stai valutando (come da definizione di omeomorfismo).
Per la domanda 2) dovresti trovare una funzione continua che ha inversa anche essa continua tra i due insiemi che stai valutando (come da definizione di omeomorfismo).
Dato che la seconda domanda dice: "come stabilire SE due insiemi dono omeomorfi" (a parte che gli insiemi non sono omeomorfi, semmai lo sono gli spazi topologici cioè insieme+topologia) io direi di seguire la seguente traccia come metodo pratico:
1) Intuitivamente: Se sei in $RR^n$ provi a disegnarli e a vedere ad occhio se riesci a trasformare il primo nel secondo mediante uno stiramento, una dilatazione, uno strizzamento che però non "strappi" e non "buchi" l'insieme. ad esempio se prendi il bordo di un quadrato e una circonferenza in $RR^2$ euclideo vedi subito che il primo va nel secondo "schiacciando" sui vertici e arrotondando il quadrato. Se credi di averlo trovato cerchi di scriverlo in formule. Nell'esempio che ho fatto la funzione è ad esempio quella che normalizza ogni punto del bordo del quadrato rispetto alla norma euclidea. Quindi verifichi che ciè che hai scritto sia effettivamente un omeomorfismo.
2) Se ad occhio non vedi niente oppure non è qualcosa che puoi "disegnare" prova a dimostrare che non sono omeomorfi guardando se qualche invariante topologico vale per l'uno e non per l'altro (compattezza, connessione, separabilità, gruppo fondamentale). Di solito questo basta.
3) Se tutti gli invarianti topologici sono condivisi dai due oggetti allora fai un voto presso qualche divinità e cerca di inventarti un omeomorfismo tra i due.
1) Intuitivamente: Se sei in $RR^n$ provi a disegnarli e a vedere ad occhio se riesci a trasformare il primo nel secondo mediante uno stiramento, una dilatazione, uno strizzamento che però non "strappi" e non "buchi" l'insieme. ad esempio se prendi il bordo di un quadrato e una circonferenza in $RR^2$ euclideo vedi subito che il primo va nel secondo "schiacciando" sui vertici e arrotondando il quadrato. Se credi di averlo trovato cerchi di scriverlo in formule. Nell'esempio che ho fatto la funzione è ad esempio quella che normalizza ogni punto del bordo del quadrato rispetto alla norma euclidea. Quindi verifichi che ciè che hai scritto sia effettivamente un omeomorfismo.
2) Se ad occhio non vedi niente oppure non è qualcosa che puoi "disegnare" prova a dimostrare che non sono omeomorfi guardando se qualche invariante topologico vale per l'uno e non per l'altro (compattezza, connessione, separabilità, gruppo fondamentale). Di solito questo basta.
3) Se tutti gli invarianti topologici sono condivisi dai due oggetti allora fai un voto presso qualche divinità e cerca di inventarti un omeomorfismo tra i due.
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