Topologia

[miuemia]

sia $RR$ dotato della topologia delle semirette destre aperte.

1)caratterizzare i compatti
2) caratterizzare le successioni convergenti in $RR$ con tale topologia e indicarne i punti limite.

come diavolo si fa?

[rubik2]

il punto 2:
sono convergenti tutte e sole le successioni $a_n$ tali che $"inf" a_n > -oo$

sia $a_n$ una successione tale che $"inf" a_n=k > -oo$

mostro che $a_n$ ammette come limite k
un intorno aperto U di k è un insieme del tipo $(a,+oo)$ con $a=k>a$ nello stesso modo $a_n$ converge ad ogni $x<=k$ e non converge ad ogni $y>k$

sia $a_n$ tale che $"inf" a_n= -oo$ mostro che non ammette limite

sia $x in RR$ e $U=(a, +oo)$ intorno aperto di x essendo $"inf" a_n= -oo$ $EE n_0 | AAn>n_0 \quad a_n
per il punto 1 la prima cosa che mi è venuta è: Sia E un sottoinsieme di $RR$ se $"inf"E!=-oo " e " "inf"E in E$ allora E è compatto. Potrebbe essere una stupidaggine mostruosa, ora però non ho tempo per pensarci, però un'idea è sempre meglio di niente

edit: dovrei aver trovato

supponiamo che $"inf"E!=-oo$ la famiglia ${(n,+oo)}_(n in NN)$ è un ricoprimento e non ammette sottoricoprimenti finiti

supponiamo che $"inf"E !in E$ la famiglia ${(a,+oo)}_(a in RR " e " a>"infE")$ è un ricoprimento e non ammette sottoricoprimenti finiti

valgano invece le $"inf"E!=-oo " e " "inf"E in E$ sia $Gamma={U_n}_(n in I)$ un qualunque ricoprimento sia $k="inf"E$ siccome $k in E$ allora $EE U_k in Gamma$ tale che $k in U_k \Rightarrow x in Gamma\quad AAx>k \Rightarrow E sub U_k$
quindi c'è un sottoricoprimento finito