Topologia
Ho trovato su un libro questo risultato sia:
$ A = { v \in L^1(\mathbb{R}) \ | \ TV(v) \leq R \ , \ \text{spt} v \subset [-M;M] } $
dove:
$ TV(v)=\lim \text{sup}_{\epsilon \to 0} 1/\epsilon \int_{-\infty}^{+\infty} | v(x)-v(x-\epsilon)|dx $
che possiamo riscrivere come:
$ TV(v)= \int_{-\infty}^{+\infty}|v'(x)|dx $
pur di interpretare la derivata nel senso delle distribuzioni.
Allora $A$ é compatto.
Purtroppo sul libro non c'era la dimostrazione e io, fino ad ora, non sono riuscito a venirne fuori viste le mie inesistenti conoscenze di topologia...
L'unica idea che mi é venuta é stata sfruttare la compattezza di $[-R,R]$ in $RR$ per affermare che in ogni successione ${v_i}_i$ esiste una sottosuccessione ${v_j}_j$ con:
$ Q_j = \int_{-\infty}^{+\infty}|v'(x)|dx \qquad \qquad \lim_j Q_j = \hat{Q} $
poi pensavo di usare questo risultato per dimostrare che ${v_j}_j$ é di Cauchy... il fatto é che in $L^1$ non posso nemmeno usare l'identitá del parallelogramma...
Qualche idea?
$ A = { v \in L^1(\mathbb{R}) \ | \ TV(v) \leq R \ , \ \text{spt} v \subset [-M;M] } $
dove:
$ TV(v)=\lim \text{sup}_{\epsilon \to 0} 1/\epsilon \int_{-\infty}^{+\infty} | v(x)-v(x-\epsilon)|dx $
che possiamo riscrivere come:
$ TV(v)= \int_{-\infty}^{+\infty}|v'(x)|dx $
pur di interpretare la derivata nel senso delle distribuzioni.
Allora $A$ é compatto.
Purtroppo sul libro non c'era la dimostrazione e io, fino ad ora, non sono riuscito a venirne fuori viste le mie inesistenti conoscenze di topologia...
L'unica idea che mi é venuta é stata sfruttare la compattezza di $[-R,R]$ in $RR$ per affermare che in ogni successione ${v_i}_i$ esiste una sottosuccessione ${v_j}_j$ con:
$ Q_j = \int_{-\infty}^{+\infty}|v'(x)|dx \qquad \qquad \lim_j Q_j = \hat{Q} $
poi pensavo di usare questo risultato per dimostrare che ${v_j}_j$ é di Cauchy... il fatto é che in $L^1$ non posso nemmeno usare l'identitá del parallelogramma...
Qualche idea?
Risposte
Idea per dimostrarlo elementarmente no, $TV$ e' l'abbreviazione di Total Variation, ed e' la variazione totale di una funzione. Quel Teorema che hai trovato non e' altro che il Teorema di compattezza nella topologia di $L^1$ di un sottoaspazio di funzioni a variazione limitata, con variazione uniformemente limitata da $R$.
Io conosco molto bene quel Teorema (io lavoro negli spazi BV), ma conosco la dimostrazione del risultato generale, che si appoggia su risultati di Teoria della misura.
Io conosco molto bene quel Teorema (io lavoro negli spazi BV), ma conosco la dimostrazione del risultato generale, che si appoggia su risultati di Teoria della misura.
Una conferma : BV sta per Bounded Variation e quindi nel caso specifico spazi a variazione limitata ?
Si', lo spazio BV è il sottospazio di $L^1$ delle funzioni a variazione limitata.
É un risultato presentato senza dimostrazione su un libro che stó leggendo per la tesi: é fondamentale per dimostrare la convergenza di una famiglia di metodi numerici per leggi di conservazione non lineari...
Mi aveva incuriosito molto visto che non mi sembra di ricordare altri esempi di sottoinsiemi compatti in $L^1$ che non siano esempi banali, ma devo dedurre da quello che dice Luca che la dimostrazione di questo risultato é molto complicata...
Mi aveva incuriosito molto visto che non mi sembra di ricordare altri esempi di sottoinsiemi compatti in $L^1$ che non siano esempi banali, ma devo dedurre da quello che dice Luca che la dimostrazione di questo risultato é molto complicata...
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