Topologia
Ragazzi buon giorno! Ho davvero bisogno di una mano... sto preparando l’esame di geometria 2 e proprio non riesco ad entrare nel meccanismo della topologia. Avete testi da consigliarmi con esercizi SVOLTI e in italiano??? Qui sul sito ho cercato ma non sono riuscita a trovare molto. Grazie mille ❤️
Risposte
Questi sono i primi 4 risultati che google restituisce.
http://www3.diism.unisi.it/FAC/didattic ... d/3504.pdf
http://www.dm.unibo.it/~francavi/did/12-13/esvolti.pdf
http://www.science.unitn.it/~occhetta/s ... geo4es.pdf
http://www.science.unitn.it/~andreatt/E ... zioni6.pdf
Non difficile, non credi?
http://www3.diism.unisi.it/FAC/didattic ... d/3504.pdf
http://www.dm.unibo.it/~francavi/did/12-13/esvolti.pdf
http://www.science.unitn.it/~occhetta/s ... geo4es.pdf
http://www.science.unitn.it/~andreatt/E ... zioni6.pdf
Non difficile, non credi?
Certo ma non trovo riscontro con la mia tipologia di esercizi ... Posso linkare la pagina web del mio prof così potete dare uno sguardo! https://www.docenti.unina.it/#!/profess ... Inse=05496
Per capire come si fanno ti suggerisco caldamente di fare così: prendi per esempio l'esercizio 2 in
https://www.docenti.unina.it/webdocenti ... ico/254646
Cerchi di farlo scrivendo bene lo svolgimento, e tutti i tuoi dubbi, poi riporti qui il tuo svolgimento e noi ti chiariamo i dubbi.
https://www.docenti.unina.it/webdocenti ... ico/254646
Cerchi di farlo scrivendo bene lo svolgimento, e tutti i tuoi dubbi, poi riporti qui il tuo svolgimento e noi ti chiariamo i dubbi.
$(RR,A) con A={\phi,RR,]2-a;2+a[AAainRR^+}$
Proprietà topologiche:
Connessione
uno spazio topologico $(S,A)$ è connesso se non verifica:
$EEA_1 e A_2 in A$ con $A_1$ e $A_2$ disgiunti tale che $A_1uuA_2=S$
Compattezza
$(S,A)$ è compatto se da ogni ricoprimento di aperti di $S$ si può estrarre un ricoprimento finito di $S$
Assiomi di separazione
$T_0$: $AAx,y in S , x!=y EEA_x:ynotinA_x vv EEA_y:xnotinA_y$
$T_1$: $AAx,y in S , x!=y EEA_x:ynotinA_x ^^ EEA_y:xnotinA_y$
$T_2$: $AAx,y in S , x!=y EEA_x , A_y: A_x nn A_y= phi$
Assiomi di numerabilità
$N_1$ LOCALMENTE A BASE NUMERABILE: se ogni punto di $S$ ha un sistema fondamentale di intorni finito o numerabile ($H(X)$ è un sist. fond. di intorni per $X$ se in ogni intorni di $X$ c'è un intorno di $X$ che appartiene ad $H(X)$)
$N_2$ A BASE NUMERABILE: se $S$ ammette una base finita o numerabile ($B$ è una base se ogni aperto di $S$ si ottiene come unione di elementi di $B$)
$N_3$ SEPARABILE : $EE XsubeS : \bar X = S$ ($X$ è denso in $S$)
Per quanto riguarda la CONNESSIONE consi dero :
$A_1=]2-a;2+a[$
$A_2=]2-b;2+b[$
con $a,b in RR^+$
essendo intervalli centrati in $2$ la loro intersezione non sarà mai vuota quindi lo spazio topologico è connesso
Non so andare avanti
Proprietà topologiche:
Connessione
uno spazio topologico $(S,A)$ è connesso se non verifica:
$EEA_1 e A_2 in A$ con $A_1$ e $A_2$ disgiunti tale che $A_1uuA_2=S$
Compattezza
$(S,A)$ è compatto se da ogni ricoprimento di aperti di $S$ si può estrarre un ricoprimento finito di $S$
Assiomi di separazione
$T_0$: $AAx,y in S , x!=y EEA_x:ynotinA_x vv EEA_y:xnotinA_y$
$T_1$: $AAx,y in S , x!=y EEA_x:ynotinA_x ^^ EEA_y:xnotinA_y$
$T_2$: $AAx,y in S , x!=y EEA_x , A_y: A_x nn A_y= phi$
Assiomi di numerabilità
$N_1$ LOCALMENTE A BASE NUMERABILE: se ogni punto di $S$ ha un sistema fondamentale di intorni finito o numerabile ($H(X)$ è un sist. fond. di intorni per $X$ se in ogni intorni di $X$ c'è un intorno di $X$ che appartiene ad $H(X)$)
$N_2$ A BASE NUMERABILE: se $S$ ammette una base finita o numerabile ($B$ è una base se ogni aperto di $S$ si ottiene come unione di elementi di $B$)
$N_3$ SEPARABILE : $EE XsubeS : \bar X = S$ ($X$ è denso in $S$)
Per quanto riguarda la CONNESSIONE consi dero :
$A_1=]2-a;2+a[$
$A_2=]2-b;2+b[$
con $a,b in RR^+$
essendo intervalli centrati in $2$ la loro intersezione non sarà mai vuota quindi lo spazio topologico è connesso
Non so andare avanti
Per la compattezza riesci a scrivere un ricoprimento fatto di aperti ]2-a,2+a[ che non ammette sottoricoprimenti finiti?
Per T0 prendi due punti $x,y$ e prova ad scegliere $A_x$ e $A_y$ opportuni intervalli ]2-a,2+a[ perché si verifichi la proprietà T0.
Per T1 scegliendo $x=2$ e $y=3$ cosa succede?
Per T2 scegliendo $x=2$ e $y=3$ cosa succede?
Per T0 prendi due punti $x,y$ e prova ad scegliere $A_x$ e $A_y$ opportuni intervalli ]2-a,2+a[ perché si verifichi la proprietà T0.
Per T1 scegliendo $x=2$ e $y=3$ cosa succede?
Per T2 scegliendo $x=2$ e $y=3$ cosa succede?
considero quindi $x=2,y=3$ per cui un aperto della topologia $A$ contenente $x$ è $A_x =]1;3[$ e un aperto contenente $y$ è $A_y=]0;4[$
$T_0$ è verificato in quanto $y notin A_x$ e $x in A_y$ (è verificata almeno una delle due condizioni esposte prima)
$T_1$ non è verificato perchè non si verificano entrambe le condizioni
$T_2$ non è verificato in quanto $A_x nn A_y = A_x != phi$
Per quanto riguarda il ricoprimento non so proprio farlo
$T_0$ è verificato in quanto $y notin A_x$ e $x in A_y$ (è verificata almeno una delle due condizioni esposte prima)
$T_1$ non è verificato perchè non si verificano entrambe le condizioni
$T_2$ non è verificato in quanto $A_x nn A_y = A_x != phi$
Per quanto riguarda il ricoprimento non so proprio farlo
Forse ci sono....
Abbiamo detto che $(RR,A)$ è compatto se da ogni ricoprimento di aperti di $RR$ si può estrarre un ricoprimento finito di $RR$
$AA{A_i}_{iinI}$ famiglia di aperti $=>RR=uuu_{i in I} A_i$
$=> EE F sube I$ finito tale che $RR=uuu_{j in F} A_j$
Gli aperti della nostra topologia hanno il parametro $a$ che varia solo in $RR^+$ quindi per ottenere un ricoprimento di $RR$ è necessario che tra gli aperti della famiglia ${A_i}_{iinI}$ ci sia anche $RR$ (per riuscire a "coprirne" la parte negativa).
Da questo ricoprimento così ottenuto posso estrarne uno finito ovvero il singleton di $RR$ cioè ${RR}$
Abbiamo detto che $(RR,A)$ è compatto se da ogni ricoprimento di aperti di $RR$ si può estrarre un ricoprimento finito di $RR$
$AA{A_i}_{iinI}$ famiglia di aperti $=>RR=uuu_{i in I} A_i$
$=> EE F sube I$ finito tale che $RR=uuu_{j in F} A_j$
Gli aperti della nostra topologia hanno il parametro $a$ che varia solo in $RR^+$ quindi per ottenere un ricoprimento di $RR$ è necessario che tra gli aperti della famiglia ${A_i}_{iinI}$ ci sia anche $RR$ (per riuscire a "coprirne" la parte negativa).
Da questo ricoprimento così ottenuto posso estrarne uno finito ovvero il singleton di $RR$ cioè ${RR}$
Si vede che ragioni bene, ma ti è sfuggito un dettaglio: posso considerare il ricoprimento aperto dato per esempio dagli intervalli $]2-a,2+a[$ con $a$ reale positivo. Questo ricoprimento aperto non ammette sottoricoprimenti finiti. Quindi lo spazio non è compatto.
Per quanto riguarda T0, T1 e T2 dovresti scrivere le cose con un po' più di dettagli.
Per esempio ti faccio il T1, tu prova a fare T0 e T2.
L'idea è mostrare che la topologia data non è T1. Per farlo prendiamo $x=2$ e $y=3$ (perché ho scelto questi due punti? Perché è chiaro che $2$ è un punto "critico" della topologia, nel senso che ha un ruolo speciale, dato che è contenuto in tutti gli aperti non vuoti! (in altre parole è un punto denso!) E il punto $3$ è scelto a caso, potevo sceglierne uno qualsiasi diverso da $2$). L'aperto $]2-1/2,2+1/2[$ contiene $2$ ma non contiene $3$, ok, ma affermo adesso che non esiste un aperto che contiene $3$ e non $2$. Questo segue semplicemente dal fatto che qualsiasi aperto non vuoto della topologia contiene $2$. Quindi la topologia non è T1.
Per quanto riguarda T0, T1 e T2 dovresti scrivere le cose con un po' più di dettagli.
Per esempio ti faccio il T1, tu prova a fare T0 e T2.
L'idea è mostrare che la topologia data non è T1. Per farlo prendiamo $x=2$ e $y=3$ (perché ho scelto questi due punti? Perché è chiaro che $2$ è un punto "critico" della topologia, nel senso che ha un ruolo speciale, dato che è contenuto in tutti gli aperti non vuoti! (in altre parole è un punto denso!) E il punto $3$ è scelto a caso, potevo sceglierne uno qualsiasi diverso da $2$). L'aperto $]2-1/2,2+1/2[$ contiene $2$ ma non contiene $3$, ok, ma affermo adesso che non esiste un aperto che contiene $3$ e non $2$. Questo segue semplicemente dal fatto che qualsiasi aperto non vuoto della topologia contiene $2$. Quindi la topologia non è T1.
Sì invece. L'unione di tutti gli intervalli $]2-a,2+a[$ (osserva che è una famiglia infinita di aperti!) è uguale a $RR$.
Si infatti ci ho ragionato meglio ... ho capito ... quello che mi sfugge è come capisco che da questo ricoprimento non posso estrarne uno finito!
Perché se prendi una famiglia finita di quegli insiemi, diciamo $]2-a_1,2+a_1[$, ..., $]2-a_n,2+a_n[$ allora scegliendo $a$ uguale al massimo di tutti gli $a_i$ hai che questi intervalli sono tutti contenuti in $]2-a,2+a[$ e quindi la loro unione non può essere $RR$. Se ti fai un disegno è ovvio.
HO riflettuto sulle cose e ancora non riesco ad impostare gli assiomi di numerabilita
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