Topologia
L'insieme dei reali<1 è omeomorfo a R?
Risposte
Quelli >0 lo sono? Esistono funzioni continue, definite sui reali positivi, la cui immagine è tutto R?
credo di si.. f:R-->R+ t.c. se x>=0 f(x)=2n+1 e se x<0 f(x)=2n dovrebbe essere un omeomorfismo
No, direi proprio che quello non è quello che intendevo. Una funzione lineare NON può essere un omomorfismo tra \(\displaystyle \mathbb{R}^+ \) e \(\displaystyle \mathbb{R} \).
Quella che intendevo era la funzione logaritmo naturale, la cui inversa è la funzione esponenziale.
Il fatto che \(\displaystyle \mathbb{R}^+ \) e \(\displaystyle (-\infty, 1) \) siano omeomorfi non penso che necessiti di spiegazioni. In generale direi che la funzione che cerchi è \(\displaystyle \ln(1-x) \) con inversa \(\displaystyle 1-e^x \). Entrambe sono continue.
Quella che intendevo era la funzione logaritmo naturale, la cui inversa è la funzione esponenziale.
Il fatto che \(\displaystyle \mathbb{R}^+ \) e \(\displaystyle (-\infty, 1) \) siano omeomorfi non penso che necessiti di spiegazioni. In generale direi che la funzione che cerchi è \(\displaystyle \ln(1-x) \) con inversa \(\displaystyle 1-e^x \). Entrambe sono continue.
un omeomorfismo e un omomorfismo sono due cose ben diverse..io non ho detto che R e R+ sono omomorfi!
"verdez":
un omeomorfismo e un omomorfismo sono due cose ben diverse..io non ho detto che R e R+ sono omomorfi!
io infatti intendevo omeomorfi. Una funzione lineare non può mandare \(\displaystyle \mathbb{R} \) in \(\displaystyle \mathbb{R}^+ \), perché il primo è uno spazio vettoriale e l'altro no. L'immagine della tua funzione semplicemente non è \(\displaystyle \mathbb{R}^+ \)
che idiota, hai ragione!
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