Tipo di Definizione di Una matrice
Premetto che ho usato la funzione ricerca, ma nonostante non ho trovato la risposta la mio problema 
Dall'esercizio mi viene data una matrice simmetrica:
$((1,0,-2),(0,-4,4),(-2,4,0))$
e sia (pallino) il prodotto scalare in $R3$ associato ad A
1)Per ogni x,y in $R3$ si determino x ps y e x ps y
1)Si determini una base ortonormale di $R3$
2)Si determini il tipo di definizione di A
1) applico la definizione cioè.. x trasposta * A * y (ove x e y sono vettori in $R3$
Per quanto riguarda la base ortonormale non ci dovrebbero essere problemi in quanto ne considero una formata dagli autovettori della matrice.
Il problema è invece sulla definizione della matrice (positiva, negativa, semi..)
Sulle dispense del mio professore vedo che si parla di indici di positività, negatività nullità, teorema di sylverster ma non ho idea di come ricavare questi indici per definire poi la matrice. Potrestre suggermi qualcosa?
Dall'esercizio mi viene data una matrice simmetrica:
$((1,0,-2),(0,-4,4),(-2,4,0))$
e sia (pallino) il prodotto scalare in $R3$ associato ad A
1)Per ogni x,y in $R3$ si determino x ps y e x ps y
1)Si determini una base ortonormale di $R3$
2)Si determini il tipo di definizione di A
1) applico la definizione cioè.. x trasposta * A * y (ove x e y sono vettori in $R3$
Per quanto riguarda la base ortonormale non ci dovrebbero essere problemi in quanto ne considero una formata dagli autovettori della matrice.
Il problema è invece sulla definizione della matrice (positiva, negativa, semi..)
Sulle dispense del mio professore vedo che si parla di indici di positività, negatività nullità, teorema di sylverster ma non ho idea di come ricavare questi indici per definire poi la matrice. Potrestre suggermi qualcosa?
Risposte
"yokonunz":
Il problema è invece sulla definizione della matrice (positiva, negativa, semi..)
Controlla gli autovalori.......
Si ok, ma se sono tutti positivi è definita positiva?
se sono tutti negativi è definita negativa?
e se sono un po e po?
o gli autovalori rappresentano la positività la negatibità e la nullità?
se sono tutti negativi è definita negativa?
e se sono un po e po?
o gli autovalori rappresentano la positività la negatibità e la nullità?
Se una matrice simmetrica ha tutti gli autovalori positivi è definita positiva, se sono tutti negativi è definita negativa, se sono un po' e un po' è indefinita
scusa se insisto, ma il caso della semi positiva / negativa come si tratta?
Una matrice è semidefinita positiva se i suoi autovalori sono $>= 0$
Una matrice è semidefinita negativa se i suoi autovalori sono $<=0$
Una matrice è definita positiva se i suoi autovalori sono $>0$
Una matrice è definita negativa se i suoi autovalori sono $<0$
Una matrice è indefinita se i suoi autovalori sono $><0$
ESEMPIO
se una matrice $A$ $2X2$ ha come autovalori $\lambda_1>0$ e $lambda_2=0$ è semidefinita positiva, se i suoi autovalori fossero $\lambda_1<0$ e $lambda_2=0$ sarebbe semidefinita negativa, se i suoi autovalori fossero $\lambda_1>0$ e $lambda_2>0$ sarebbe definita positiva, se i suoi autovalori fossero $\lambda_1<0$ e $lambda_2<0$ sarebbe definita negativa ed infine se i suoi autovalori fossero $\lambda_1>0$ e $lambda_2<0$ sarebbe indefinita
Una matrice è semidefinita negativa se i suoi autovalori sono $<=0$
Una matrice è definita positiva se i suoi autovalori sono $>0$
Una matrice è definita negativa se i suoi autovalori sono $<0$
Una matrice è indefinita se i suoi autovalori sono $><0$
ESEMPIO
se una matrice $A$ $2X2$ ha come autovalori $\lambda_1>0$ e $lambda_2=0$ è semidefinita positiva, se i suoi autovalori fossero $\lambda_1<0$ e $lambda_2=0$ sarebbe semidefinita negativa, se i suoi autovalori fossero $\lambda_1>0$ e $lambda_2>0$ sarebbe definita positiva, se i suoi autovalori fossero $\lambda_1<0$ e $lambda_2<0$ sarebbe definita negativa ed infine se i suoi autovalori fossero $\lambda_1>0$ e $lambda_2<0$ sarebbe indefinita
Grazie!
"Alexp":
[quote="yokonunz"]
Il problema è invece sulla definizione della matrice (positiva, negativa, semi..)
Controlla gli autovalori.......[/quote]
In questo caso particolare basta guardare gli elementi della diagonale: poiché c'è un elemento $>0$ e uno $<0$ possiamo
stabilire subito e senza fare nessun calcolo che la matrice non è definita positiva e non è definita negativa.
Ti rigranzio per le tue considerazioni
$((-1,2,2),(2,-4,-4),(2,-4,-4))$
che ha: gli elementi sulla diagonale tutti negativi quindi dovrebbe essere definita negativa
ma i suoi autovalori sono 0 0 -9 , il che direbbe semidefinita negativa. a chi devo dare retta?
$((-1,2,2),(2,-4,-4),(2,-4,-4))$
che ha: gli elementi sulla diagonale tutti negativi quindi dovrebbe essere definita negativa
ma i suoi autovalori sono 0 0 -9 , il che direbbe semidefinita negativa. a chi devo dare retta?
"yokonunz":
Ti rigranzio per le tue considerazioni
$((-1,2,2),(2,-4,-4),(2,-4,-4))$
che ha: gli elementi sulla diagonale tutti negativi quindi dovrebbe essere definita negativa
ma i suoi autovalori sono 0 0 -9 , il che direbbe semidefinita negativa. a chi devo dare retta?
Attenzione:
non ho detto che se sulla diagonale ci sono elementi tutti negativi allora la matrice è definita negartiva!!
Esempio:
$((-1, 3), (3, -2))$
la matrice ha segnatura (1,1,0) eppure ha due elementi negativi sulla diagonale.
Quindi attenzione:
se sulla diagonale ci sono elementi positivi e negativi sicuramente la matrice non è defintiva (pos. o neg.) ;
se la matrice è definita positiva allora sulla diagonale ci sono elementi positivi;
se la matrice è definita negativa allora sulla diagonale ci sono elementi negativi.
Devi stare attento alle affermazioni $A -> B$ ...
si, la segnatura sono il numero di autovalori positivi, negativi e nulli ?
"yokonunz":
si, la segnatura sono il numero di autovalori positivi, negativi e nulli ?
Sì.
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