Theorema Egregium di Gauss (geometria differenziale)
Il Theorema Egregium di Gauss afferma che la curvatura gaussiana di una superficie dipende solo dalla prima forma fondamentale. Credo di aver capito la dimostrazione. Non capisco però il significato che è stato riportato dal mio prof. e che è indicato in tutti i siti che ne parlano; ovvero, non capisco perché il fatto che la curvatura gaussiana dipenda solo dalla prima forma fondamentale dovrebbe implicare (detto in modi differenti) che:
1) la curvatura gaussiana è una grandezza intrinseca della superficie
2) la curvatura gaussiana dipende solo dalle distanze tra punti all’interno della superficie
3) detto in modo intuitivo: un essere vivente che vive su una superficie può calcolare la curvatura della superficie su cui vive, senza uscire da essa
Grazie!
1) la curvatura gaussiana è una grandezza intrinseca della superficie
2) la curvatura gaussiana dipende solo dalle distanze tra punti all’interno della superficie
3) detto in modo intuitivo: un essere vivente che vive su una superficie può calcolare la curvatura della superficie su cui vive, senza uscire da essa
Grazie!
Risposte
La prima forma fondamentale definisce una forma bilineare all'interno della superficie equivalente al prodotto scalare in $RR^n$. Definisce le distanze e la lunghezza delle curve.
Preso per assodato, quando detto da "vic85", proverò a spiegarti in modo semplice semplice i tuoi 3 punti.
punto 1
La curvatura gaussiana è una grandezza intrinseca, ossia che non dipende da come una superficie sia immersa nello spazio $RR^3$, ma è essa calcolabile "da dentro", ossia senza pensare a dimensioni superiori...si fa tutto in locale sulla superficie stessa, sfruttando la prima forma fondamentale....$k=(eg-f^2)/(EG-F^2)$ (ovviamente i coefficienti della seconda forma fondamentale discendono dalla prima).
punto 2
Dal teorema "Theorema Egregium" di Gauss si deduce che la curvatura di Gauss di una superficie si esprime mediante i coefficienti della prima forma fondamentale e delle loro derivate parziali del primo e secondo ordine (vedi sopra); quindi la curvatura di Gauss è intrinseca e segue che due superficie localmente isometriche hanno la stessa curvatura di Gauss.
Quindi la curvatura dipende dalla distanza tra i punti, ossia dalla metrica...metrica = prima forma fondamentale.
punto 3
Stessa cosa che vale per il punto 1, la curvatura la si può calcolare senza considerare lo spazio in cui la superficie è immersa.
Ciao
punto 1
La curvatura gaussiana è una grandezza intrinseca, ossia che non dipende da come una superficie sia immersa nello spazio $RR^3$, ma è essa calcolabile "da dentro", ossia senza pensare a dimensioni superiori...si fa tutto in locale sulla superficie stessa, sfruttando la prima forma fondamentale....$k=(eg-f^2)/(EG-F^2)$ (ovviamente i coefficienti della seconda forma fondamentale discendono dalla prima).
punto 2
Dal teorema "Theorema Egregium" di Gauss si deduce che la curvatura di Gauss di una superficie si esprime mediante i coefficienti della prima forma fondamentale e delle loro derivate parziali del primo e secondo ordine (vedi sopra); quindi la curvatura di Gauss è intrinseca e segue che due superficie localmente isometriche hanno la stessa curvatura di Gauss.
Quindi la curvatura dipende dalla distanza tra i punti, ossia dalla metrica...metrica = prima forma fondamentale.
punto 3
Stessa cosa che vale per il punto 1, la curvatura la si può calcolare senza considerare lo spazio in cui la superficie è immersa.
Ciao
"vict85":
La prima forma fondamentale definisce una forma bilineare all'interno della superficie equivalente al prodotto scalare in $RR^n$. Definisce le distanze e la lunghezza delle curve.
E' tutto corretto ciò che dici, aggiungerei solo che la prima forma fondamentale, oltre a definire le distanze e la lunghezza delle curve, definisce anche angoli e aree.