Th di completamento a base, dimostrazione

[Smoke666]

Ciao a tutti, mi è stato chiesto di dimostrare il teorema di completamento a base. La proposta "classica" è la seguente:

Sia $B={v_1,..,v_n}$ una base di uno spazio vettoriale $V$ e siano ${w_1,..,w_p} \in P$, con $p<=n$, vettori linearmente indipendenti. Allora esistono $n-p$ vettori di $B$ che insieme a ${w_1,..,w_p}$ formano una base di $V$.

La dimostrazione si effettua per induzione su $p$ ed è più o meno articolata e facilemente reperibile su qualunque libro di testo (pag. 78 di "Algebra Lineare - Marco Abate").

Tuttavia io mi chiedevo, posso utilizzare una dimostrazione più semplice concettualmente, che sfrutta il metodo degli scarti successivi? Ovvero, io so che ${w_1,..,w_p}$ sono vettori linearmente indipendenti e sono un insieme di generatori per $V$. Se a questi aggiungo tutti i vettori di una base nota (la canonica ad esempio), ottenendo ${w_1,..,w_p, e_1,...,e_n}$, applicando poi il metodo degli scarti successivi succederà che l'insieme ${w_1,..,w_p}$ non verrà alterato, in quanto già linearmente indipendenti, e verrà completato a base dai vettori ${ e_1,...,e_n}$ che non sono combinazione lineare dei già presenti ${w_1,..,w_p}$, in particolare verranno "usati" $n-p$ vettori della base canonica. E' una dimostrazione valido o un po troppo banale?