Teoria: forma bilineare simmetrica degenere e base ortogonale
Vi pongo un'ultima domanda.
Mi chiedevo se con una forma quadratica degenere, e quindi con la bilineare simmetrica ad essa associata degenere vi fosse sempre una base ortogonale. Mi parrebbe di capire di sì leggendo il libro.
Ma non capisco il perché sia possibile essendo il concetto di ortogonalità correlato alla forma bilineare: Infatti se una forma bilineare simmetrica (phi) è degenere essa ha dei vettori sempre phi-ortogonali (kernel di phi), quindi questi vettori potranno essere linearmente dipendenti e risultare phi-ortogonali (cosa che invece non accade nel prodotto scalare), quindi come si può avere una base ortogonale per quello spazio?
MI potreste per favore aiutare?
Mi chiedevo se con una forma quadratica degenere, e quindi con la bilineare simmetrica ad essa associata degenere vi fosse sempre una base ortogonale. Mi parrebbe di capire di sì leggendo il libro.
Ma non capisco il perché sia possibile essendo il concetto di ortogonalità correlato alla forma bilineare: Infatti se una forma bilineare simmetrica (phi) è degenere essa ha dei vettori sempre phi-ortogonali (kernel di phi), quindi questi vettori potranno essere linearmente dipendenti e risultare phi-ortogonali (cosa che invece non accade nel prodotto scalare), quindi come si può avere una base ortogonale per quello spazio?
MI potreste per favore aiutare?
Risposte
Se sei sul campo reale o sul campo complesso (più in generale, su un campo algebricamente chiuso), puoi dire anche di più:
https://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester ... atic_forms
https://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester ... atic_forms
Penso non l'abbia ancora introdotta il professore nel corso, ma che a breve ci arriveremo su sylvester (ho visto la scaletta) e ti ringrazio per il link che ho letto con interesse.
Però non ho capito, nel senso, non mi pare rispondesse al mio dubbio, scusa se sono un po' ottuso e insisto, ma voglio proprio capire questa parte
Quindi...
non capisco il perché sia possibile con qualunque forma bilineare simmetrica anche degenere avere sicuramente una base (quindi vettori linearmente indipendenti) ortogonale: Infatti se una forma bilineare simmetrica (phi) è degenere essa ha dei vettori sempre phi-ortogonali (kernel di phi) a tutti i vettori, quindi questi vettori del kernel potrebbero essere benissimo linearmente dipendenti e risultare ai miei occhi ortogonali (o meglio phi-ortogonali), quindi come si può avere una base ortogonale per quello spazio, se una base per definizione è composta da tutti vettori indipendenti?
Dimmi se non son stato chiaro che cerco di esprimermi meglio, ma ti/vi prego aiutatemi perché vorrei proprio capirlo!
Però non ho capito, nel senso, non mi pare rispondesse al mio dubbio, scusa se sono un po' ottuso e insisto, ma voglio proprio capire questa parte
Quindi...
non capisco il perché sia possibile con qualunque forma bilineare simmetrica anche degenere avere sicuramente una base (quindi vettori linearmente indipendenti) ortogonale: Infatti se una forma bilineare simmetrica (phi) è degenere essa ha dei vettori sempre phi-ortogonali (kernel di phi) a tutti i vettori, quindi questi vettori del kernel potrebbero essere benissimo linearmente dipendenti e risultare ai miei occhi ortogonali (o meglio phi-ortogonali), quindi come si può avere una base ortogonale per quello spazio, se una base per definizione è composta da tutti vettori indipendenti?
Dimmi se non son stato chiaro che cerco di esprimermi meglio, ma ti/vi prego aiutatemi perché vorrei proprio capirlo!
Sia \(\phi\colon V\times V\to \mathbb K\) la tua forma bilineare. Supponi che \(W\subset V\) sia un sottospazio con la proprietà che \(\phi(w, w)=0\) per ogni \(w\in W\). (Tali vettori si dicono a volte “isotropi”). Allora qualsiasi base di \(W\) è ortogonale.
Non ti confondere con l'implicazione opposta: dato un prodotto scalare \(\langle, \rangle\), un sistema di vettori \(w_1\ldots w_n\) tale che \(\langle w_i, w_j\rangle=0\) se \(i\ne j\) è linearmente indipendente. Questo chiaramente non è più vero se ci sono vettori isotropi.
Non ti confondere con l'implicazione opposta: dato un prodotto scalare \(\langle, \rangle\), un sistema di vettori \(w_1\ldots w_n\) tale che \(\langle w_i, w_j\rangle=0\) se \(i\ne j\) è linearmente indipendente. Questo chiaramente non è più vero se ci sono vettori isotropi.
Ecco oraci siamo 
Ho capito dove sbagliavo, era proprio la confusione che evidenziavi tu: in effetti non posso costruire la base tramite phi! funziona solo per il prodotto scalare, perché tramite fi potrei trovare due ortogonali per phi ma non linearmente indipendenti con phi degenere.
Sempre tenendoci in un phi degenere.
C'è solo una piccola cosa che mi sfugge di quel che mi spiegavi:
Riportavi: "Allora qualsiasi base di W è ortogonale"
E mi chiedo: qualsiasi, ma proprio qualsiasi base?
-Perché se prendo una base che abbia come vettore un vettore del kernel di phi in effetti quel vettore è phi-ortogonale a tutti e quindi quella base mi risulta ortogonale.
-Invece se prendessi come base dei vettori che non sono nel ker di phi -che non sono cioè "ortogonali a tutti"-, in altre parole ancora dei vettori che non sono nel sottospazio ortogonale di phi, potrei aver trovato una base non ortogonale per quello spazio rispetto a phi, quindi mi verrebbe da dire che una base non è per forza phi-ortogonale sempre, o sbaglio?
Non riuscivo a districarmi. Grazie mille per l'aiuto, davvero!
Ho capito dove sbagliavo, era proprio la confusione che evidenziavi tu: in effetti non posso costruire la base tramite phi! funziona solo per il prodotto scalare, perché tramite fi potrei trovare due ortogonali per phi ma non linearmente indipendenti con phi degenere.
Sempre tenendoci in un phi degenere.
C'è solo una piccola cosa che mi sfugge di quel che mi spiegavi:
Riportavi: "Allora qualsiasi base di W è ortogonale"
E mi chiedo: qualsiasi, ma proprio qualsiasi base?
-Perché se prendo una base che abbia come vettore un vettore del kernel di phi in effetti quel vettore è phi-ortogonale a tutti e quindi quella base mi risulta ortogonale.
-Invece se prendessi come base dei vettori che non sono nel ker di phi -che non sono cioè "ortogonali a tutti"-, in altre parole ancora dei vettori che non sono nel sottospazio ortogonale di phi, potrei aver trovato una base non ortogonale per quello spazio rispetto a phi, quindi mi verrebbe da dire che una base non è per forza phi-ortogonale sempre, o sbaglio?
Non riuscivo a districarmi. Grazie mille per l'aiuto, davvero!
Dicevo, una base di W, un sottospazio isotropo. Non una base di tutto lo spazio, chiaramente. Fatti sempre un esempio e ragiona su quello
Troppo celere
Grazie mille!
Quindi in sostanza quel che dicevo è giusto come esempio? Ho ragionato correttamente anche se poco formale
Buona serata!
Grazie mille!
Quindi in sostanza quel che dicevo è giusto come esempio? Ho ragionato correttamente anche se poco formale
Buona serata!
"lillio":
Quindi in sostanza quel che dicevo è giusto come esempio? Ho ragionato correttamente anche se poco formale
Non lo so, non ho letto i tuoi processi mentali. In generale nessuno lo farà. Cerca di essere sintetico e di scrivere solo le parti essenziali.
Ci provo a riformulare, è un buon esercizio:
Sia ${v_1,v_2,v_3}$ una base per $R^3$ e sia \phi una forma bilineare simmetrica degenere.
Noto che: preso un $v_1$ che non appartiene a $ker(\phi)=0, v_1$ potrebbe non essere phi ortogonale => ${v_1,v_2,v_3}$ non è phi-ortogonale.
in realtà meglio di così non saprei scriverlo
Sia ${v_1,v_2,v_3}$ una base per $R^3$ e sia \phi una forma bilineare simmetrica degenere.
Noto che: preso un $v_1$ che non appartiene a $ker(\phi)=0, v_1$ potrebbe non essere phi ortogonale => ${v_1,v_2,v_3}$ non è phi-ortogonale.
in realtà meglio di così non saprei scriverlo
È completamente senza senso
Scusa,
comunque siccome dicevi di ridurre all'osso stostanzialmente chiedevo:
"data una base in V, è sempre possibile trovare una base ortogonale rispetto a una forma bilineare simmetrica degenere?"
Mi pare di aver capito di si dalla spiegazione, correggimi se sbaglio?
Il resto erano mie elucubrazioni
Buona serata e grazie ancora per tutto!
comunque siccome dicevi di ridurre all'osso stostanzialmente chiedevo:
"data una base in V, è sempre possibile trovare una base ortogonale rispetto a una forma bilineare simmetrica degenere?"
Mi pare di aver capito di si dalla spiegazione, correggimi se sbaglio?
Il resto erano mie elucubrazioni
Buona serata e grazie ancora per tutto!
E siamo tornati al punto di partenza. 
Comunque la risposta è affermativa: tutte le forme bilineari *simmetriche* possono essere diagonalizzate, ovvero, ammettono una base ortogonale. È una versione nel caso generale della legge di inerzia di Sylvester, che è valida solo nel caso reale.
In pratica questo risultato non si usa molto (a mio avviso), ma è una versione baby del teorema spettrale per le matrici simmetriche, che invece è fondamentale.
Ora sono in viaggio e mi è complicato scrivere una dimostrazione (comunque sono sicuro che c'è su tutti i libri; ricordo di averla vista sul Sernesi). L'idea è che bisogna adattare l'algoritmo di Gram Schmidt per scansare i vettori isotropi.
Comunque la risposta è affermativa: tutte le forme bilineari *simmetriche* possono essere diagonalizzate, ovvero, ammettono una base ortogonale. È una versione nel caso generale della legge di inerzia di Sylvester, che è valida solo nel caso reale.
In pratica questo risultato non si usa molto (a mio avviso), ma è una versione baby del teorema spettrale per le matrici simmetriche, che invece è fondamentale.
Ora sono in viaggio e mi è complicato scrivere una dimostrazione (comunque sono sicuro che c'è su tutti i libri; ricordo di averla vista sul Sernesi). L'idea è che bisogna adattare l'algoritmo di Gram Schmidt per scansare i vettori isotropi.
Grazie mille!
Un abbozzo di dimostrazione. Sia \(V\) uno spazio vettoriale su un qualsiasi campo \(K\) e sia \(\{e_1, e_2\}\) una base. (Consideriamo solo spazi di dimensione 2, per capire l'idea senza complicazioni tecniche). Sia \(\phi\colon V\times V\to K\) una forma bilineare simmetrica.
Proposizione. Esiste una base \(f_1, f_2\) di \(V\) tale che \(\phi(f_1, f_2)=0\).
Dimostrazione. Se \(\phi(e_1, e_1)\ne 0\) allora si può applicare un passo dell'algoritmo di Gram-Schmidt e definire
\[
f_1=e_1,\qquad f_2=e_2-\frac{\phi(e_2, f_1)}{\phi(f_1, f_1)}f_1.\]
Se invece \(\phi(e_1, e_1)=0\) allora si considerano i vettori \(e_1+e_2\) e \(e_1-e_2\). Se \[\tag{1}\phi(e_1+e_2, e_1+e_2)=\phi(e_1-e_2, e_1-e_2)=0, \] allora necessariamente \(\phi(e_2, e_2)=0\) e \(\phi(e_1, e_2)=0\) (espandere la (1) per rendersene conto). In questo caso, \(\phi\equiv 0 \) e non c'è niente da fare. Altrimenti si sostituisce \(e_1\) con \(e_1-e_2\) o con \(e_1+e_2\) in modo da ricondursi al caso precedente e concludere via Gram-Schmidt.
Proposizione. Esiste una base \(f_1, f_2\) di \(V\) tale che \(\phi(f_1, f_2)=0\).
Dimostrazione. Se \(\phi(e_1, e_1)\ne 0\) allora si può applicare un passo dell'algoritmo di Gram-Schmidt e definire
\[
f_1=e_1,\qquad f_2=e_2-\frac{\phi(e_2, f_1)}{\phi(f_1, f_1)}f_1.\]
Se invece \(\phi(e_1, e_1)=0\) allora si considerano i vettori \(e_1+e_2\) e \(e_1-e_2\). Se \[\tag{1}\phi(e_1+e_2, e_1+e_2)=\phi(e_1-e_2, e_1-e_2)=0, \] allora necessariamente \(\phi(e_2, e_2)=0\) e \(\phi(e_1, e_2)=0\) (espandere la (1) per rendersene conto). In questo caso, \(\phi\equiv 0 \) e non c'è niente da fare. Altrimenti si sostituisce \(e_1\) con \(e_1-e_2\) o con \(e_1+e_2\) in modo da ricondursi al caso precedente e concludere via Gram-Schmidt.
Ti ringrazio, direi che ora non ho più dubbi
PS: non so se ne hai voglia e tempo, ma se ti va potresti darmi una mano con questo?
viewtopic.php?f=37&t=182646
Non ho capito il consiglio e purtroppo la conversazione è del tutto morta
PS: non so se ne hai voglia e tempo, ma se ti va potresti darmi una mano con questo?
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Non ho capito il consiglio e purtroppo la conversazione è del tutto morta
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