Teoria e esercizio sulle proiezioni...
Ciao a tutti... ecco il mio problema:
Si consideri su $RR^4$ il prodotto scalare standard. Sia V il sottospazio di $RR^4$ generato dai vettori:
$(2,0,-1,1)$ $(4,3,-2,-1)$ $(2,4,-1,-3)$ $(2,2,-1,-1).
a) Calcolare la dimensione di V ed una base ortogonale B1 di V.
b) Determinare l'ortogonale $V^\bot$ di V ed esibirne una base ortogonale B2.
Sia $\pi$ : $RR^4$ $rarr$ $RR^4$ la proiezione ortogonale di $RR^4$ su $V^\bot$. Sia B la base di $RR^4$ ottenuta come l'unione di B1 e B2.
c) Determinare la matrice di $\pi$ rispetto alla base canonica di $RR^4$ (del domino e del codominio).
Sia s: $RR^4$ $rarr$ $RR^4$ la simmetria di asse $V^\bot$ e direzione V.
d) dire se s è un'isometria e se è autoaggiunto.
Risposta:
a) ho risolto il sistema omogeneo associato, visto che la dim V = 2, ortogonalizzato con Gram-Shmit ed ottenuto B1= $(2,0,-1,1)$,$(4,12,-2,-10)$.
Domanda 1: rifacendolo invece di prendere il primo vettore datomi ho preso il vettore (1 0 0 0) che mi usciva dal sistema associato ridotto con Gauss e ho ortogonalizzato il quarto dello stesso sistema (1 2 0 0) ottenendo una base più agevole: B1= (1 0 0 0),(0 1 0 0). E' lecito ciò che ho fatto?
b) per risolvere ciò ho imposto che il prodotto fra un generico vettore (x y z t) ed ogni vettore della base B1 fosse uguale a 0; risolvendo il sistema con B1 uguale alla seconda scritta mi è risultato B2= (0 0 1 0),(0 0 0 1).
Domanda 2: il mio procedimento è giusto? se si il caso che mi sia uscita la base canonica di $RR^4$ è solo un caso, ma se non avessi avuto due vettori già chiaramente ortogonali per B2 avrei dovuto usare Gram anche per trovare B2?
c) Domanda 3: da qui io mi perdo... non ho proprio capito nulla sulle proiezioni e sulle simmetrie:
per trovare la matrice faccio: $. _CM_C(\pi) = ._CM_B(Id)*._BM_B(\pi)*._BM_C(Id) = Id*((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))*Id = ((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$
Penso sia così da fare ma non ho ben capito il perchè teorico... in più se per caso non fosse il prodotto standard ma ne avessi uno rappresentato da una matrice G che dovrei fare? C'è un modo più veloce?
d) Domanda 4: Sò dalla definizione, che s è isometria se $.^tA*A=Id$ ma qui qual'e la matrice rappresentativa rispetto la base canonica di s, cioè come trovo $A=._CM_C(s)$ ?
Poi una volta che ho quello per vedere se è autoaggiunto faccio $.^tA*Id=Id*A$...
Grazie a ciunque abbia la volonta di leggere tutto e rispondermi
Si consideri su $RR^4$ il prodotto scalare standard. Sia V il sottospazio di $RR^4$ generato dai vettori:
$(2,0,-1,1)$ $(4,3,-2,-1)$ $(2,4,-1,-3)$ $(2,2,-1,-1).
a) Calcolare la dimensione di V ed una base ortogonale B1 di V.
b) Determinare l'ortogonale $V^\bot$ di V ed esibirne una base ortogonale B2.
Sia $\pi$ : $RR^4$ $rarr$ $RR^4$ la proiezione ortogonale di $RR^4$ su $V^\bot$. Sia B la base di $RR^4$ ottenuta come l'unione di B1 e B2.
c) Determinare la matrice di $\pi$ rispetto alla base canonica di $RR^4$ (del domino e del codominio).
Sia s: $RR^4$ $rarr$ $RR^4$ la simmetria di asse $V^\bot$ e direzione V.
d) dire se s è un'isometria e se è autoaggiunto.
Risposta:
a) ho risolto il sistema omogeneo associato, visto che la dim V = 2, ortogonalizzato con Gram-Shmit ed ottenuto B1= $(2,0,-1,1)$,$(4,12,-2,-10)$.
Domanda 1: rifacendolo invece di prendere il primo vettore datomi ho preso il vettore (1 0 0 0) che mi usciva dal sistema associato ridotto con Gauss e ho ortogonalizzato il quarto dello stesso sistema (1 2 0 0) ottenendo una base più agevole: B1= (1 0 0 0),(0 1 0 0). E' lecito ciò che ho fatto?
b) per risolvere ciò ho imposto che il prodotto fra un generico vettore (x y z t) ed ogni vettore della base B1 fosse uguale a 0; risolvendo il sistema con B1 uguale alla seconda scritta mi è risultato B2= (0 0 1 0),(0 0 0 1).
Domanda 2: il mio procedimento è giusto? se si il caso che mi sia uscita la base canonica di $RR^4$ è solo un caso, ma se non avessi avuto due vettori già chiaramente ortogonali per B2 avrei dovuto usare Gram anche per trovare B2?
c) Domanda 3: da qui io mi perdo... non ho proprio capito nulla sulle proiezioni e sulle simmetrie:
per trovare la matrice faccio: $. _CM_C(\pi) = ._CM_B(Id)*._BM_B(\pi)*._BM_C(Id) = Id*((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))*Id = ((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$
Penso sia così da fare ma non ho ben capito il perchè teorico... in più se per caso non fosse il prodotto standard ma ne avessi uno rappresentato da una matrice G che dovrei fare? C'è un modo più veloce?
d) Domanda 4: Sò dalla definizione, che s è isometria se $.^tA*A=Id$ ma qui qual'e la matrice rappresentativa rispetto la base canonica di s, cioè come trovo $A=._CM_C(s)$ ?
Poi una volta che ho quello per vedere se è autoaggiunto faccio $.^tA*Id=Id*A$...
Grazie a ciunque abbia la volonta di leggere tutto e rispondermi
Risposte
Perfavore, c'è qualcuno che sà rispondermi?
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