[TEORIA] Differenza conica / quadrica - Riduzione a forma c.
Buongiorno ragazzi, dato che non riesco a trovare dei testi da dove studiare ho iniziato a girovagare per internet ricercando i singoli argomenti.
Potreste aiutarmi a fare un quadro della situazione?
Ho scoperto come posso creare una matrice da una quadratica, cioè:
$Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0$ diventa
$M = ((A, B ,D),(B, C, E), (D, E, F))$.
Da lì poi riesco a capire se è degenere (ma non so cosa significhi!) e quale "forma geometrica" assuma attraverso lo studio dei cosiddetti "invarianti".
Mi aiutate a fare gli altri passi? Conica? Cos'è? Quadrica, idem. Come faccio a portare una di queste equazioni in "forma canonica" e cioè come faccio a fissare queste figure geometriche nell'origine e sugli assi?
Vi ringrazio.
PS: Cosa sono gli indici di una quadratica associati all'equazione?
Potreste aiutarmi a fare un quadro della situazione?
Ho scoperto come posso creare una matrice da una quadratica, cioè:
$Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0$ diventa
$M = ((A, B ,D),(B, C, E), (D, E, F))$.
Da lì poi riesco a capire se è degenere (ma non so cosa significhi!) e quale "forma geometrica" assuma attraverso lo studio dei cosiddetti "invarianti".
Mi aiutate a fare gli altri passi? Conica? Cos'è? Quadrica, idem. Come faccio a portare una di queste equazioni in "forma canonica" e cioè come faccio a fissare queste figure geometriche nell'origine e sugli assi?
Vi ringrazio.
PS: Cosa sono gli indici di una quadratica associati all'equazione?
Risposte
Salve GSnake,
non ho capito molto di quello che vuoi, comunque ti segnalo la seguente:
http://it.wikipedia.org/wiki/Rappresent ... le_coniche
in lingua inglese, la pagina, è più sintetica.
Cordiali saluti
non ho capito molto di quello che vuoi, comunque ti segnalo la seguente:
http://it.wikipedia.org/wiki/Rappresent ... le_coniche
in lingua inglese, la pagina, è più sintetica.
Cordiali saluti
Spiegarti il fatto che sia degenere non saprei farlo, ma ridurlo a forma canonica è molto semplice. Se hai una quadratica di quel genere, ti basta trovarti gli autovalori tramite il polinomio caratteristico (mettiamo siano 1 , 2, 3), dopodiché la quadratica ridotta ti diventa $x^2 + 2y^2+3z^2=0$. Solitamente ti danno anche un termine noto, che non devi includere nella matrice, ma aggiungere solo alla fine, per esempio ti danno -1, allora la forma canonica è $x^2 + 2y^2+3z^2-1=0$. La cosa si complica un po' se hai dei termini non misti, per esempio $ 3x+ 2y -4z $ o cose del genere. A quel punto devi calcolarti la matrice ortonormale rispetto alla matrice di partenza, dopodiché esegui una moltiplicazione tra $2(3/2 1 -2)$ e la matrice ortonormale, dopodiché moltiplichi nuovamente per i coefficienti per x,y,z (sempre con una moltiplicazione matriciale). Finiti questi passaggi dovrai traslare l'equazione appena ottenuta in modo da eliminare i termini con solo x,y,z. Alla fine ti trovi la tua forma canonica di una conica.
"garnak.olegovitc":
Salve GSnake,
non ho capito molto di quello che vuoi, comunque ti segnalo la seguente:
http://it.wikipedia.org/wiki/Rappresent ... le_coniche
in lingua inglese, la pagina, è più sintetica.
Cordiali saluti
Ho studiato proprio da lì. Grazie.
"Fabiobreo":
Spiegarti il fatto che sia degenere non saprei farlo, ma ridurlo a forma canonica è molto semplice. Se hai una quadratica di quel genere, ti basta trovarti gli autovalori tramite il polinomio caratteristico (mettiamo siano 1 , 2, 3), dopodiché la quadratica ridotta ti diventa $x^2 + 2y^2+3z^2=0$. Solitamente ti danno anche un termine noto, che non devi includere nella matrice, ma aggiungere solo alla fine, per esempio ti danno -1, allora la forma canonica è $x^2 + 2y^2+3z^2-1=0$. La cosa si complica un po' se hai dei termini non misti, per esempio $ 3x+ 2y -4z $ o cose del genere. A quel punto devi calcolarti la matrice ortonormale rispetto alla matrice di partenza, dopodiché esegui una moltiplicazione tra $2(3/2 1 -2)$ e la matrice ortonormale, dopodiché moltiplichi nuovamente per i coefficienti per x,y,z (sempre con una moltiplicazione matriciale). Finiti questi passaggi dovrai traslare l'equazione appena ottenuta in modo da eliminare i termini con solo x,y,z. Alla fine ti trovi la tua forma canonica di una conica.
Purtroppo non ho mai fatto esercizi e ho poco tempo per svolgerli. Potresti farmi un esempio più "completo"? Cioè partendo dall'equazione per poi passare alla matrice.. ecc ecc.
Io trovo gli autovalori.. bene. Poi come fa l'equazione a diventare semplificata in quel modo?
EDIT: Quindi se non ho termini misti (xy, x , y) è semplice. L'equazione avrà i termini di secondo grado più un eventuale termine noto con i coefficienti dati dagli autovalori. DOMANDA: Come faccio a sapere quale autovalore è associato alla variabile $x,y,z$?
PS: Cosa è una quadrica? Cosa è una conica? La quadratica è semplicemente una equazione OMOGENEA di secondo grado. Right?
Ok, ti faccio un esempio. Allora: ridurre a forma canonica l'equazione:
$2xy+2xz+2yz+2x+2y+2z+2t+1=0$
Ti crei la matrice associata:
$((0,1,1,0),(1,0,1,0),(1,1,0,0),(0,0,0,0))$
Gli autovalori di tale matrice sono:
-1 con molteplicità 2
2 con molteplicità 1
0 con molteplicità 1
Gli autospazi sono:
V(-1)=<(-1,1,0,0),(-1,0,1,0)>
V(2)=<(1,1,1,0)>
V(0)=<(0,0,0,1)>
Consideri la base formata dalla somma degli autospazi(che sono linearmente indipendenti), la ortonormalizzi con Gram-Schmidt ottenendo la matrice.
$M^E _B = ((-1/sqrt(2),-1/sqrt(6),1/sqrt(3),0),(1/sqrt(2),-1/sqrt(6),1/sqrt(2),0),(0,2/sqrt(6),1/sqrt(3),0),(0,0,0,1))$
Da qui la matrice diagonale D: $((-1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,0))$
L'equazione cercata, in forma matriciale è:
$(x y z t)*D*((x),(y),(z),(t)) + 2(1 1 1 1)*M^E _B*((x),(y),(z),(t))+1=0$
In forma non matriciale è:
$-x^2-y^2+2z^2+2*sqrt(3)z+2t+1=0$
Da qui completiamo il quadrato $2z^2+2*sqrt(3)z= 2(z+sqrt(3)/2)^2-3/2$ otteniamo quindi:
$-x^2-y^2+2(z+sqrt(3)/2)^2+2(t-1/4)=0$
Trasliamo di $(0,0,sqrt(3)/2,-1/4)$ e arriviamo alla forma canonica:
$-x^2-y^2+2z^2+2t=0$
EDIT: è semplice se hai solo termini misti e termini al quadrato, si complica se hai x,y,z,t singolarmente. Gli autovalori li metti in ordine come ti vengono. Un'iperquadrica è detta conica se siamo in $R^2$, si chiama quadrica se siamo in $R^3$.
$2xy+2xz+2yz+2x+2y+2z+2t+1=0$
Ti crei la matrice associata:
$((0,1,1,0),(1,0,1,0),(1,1,0,0),(0,0,0,0))$
Gli autovalori di tale matrice sono:
-1 con molteplicità 2
2 con molteplicità 1
0 con molteplicità 1
Gli autospazi sono:
V(-1)=<(-1,1,0,0),(-1,0,1,0)>
V(2)=<(1,1,1,0)>
V(0)=<(0,0,0,1)>
Consideri la base formata dalla somma degli autospazi(che sono linearmente indipendenti), la ortonormalizzi con Gram-Schmidt ottenendo la matrice.
$M^E _B = ((-1/sqrt(2),-1/sqrt(6),1/sqrt(3),0),(1/sqrt(2),-1/sqrt(6),1/sqrt(2),0),(0,2/sqrt(6),1/sqrt(3),0),(0,0,0,1))$
Da qui la matrice diagonale D: $((-1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,0))$
L'equazione cercata, in forma matriciale è:
$(x y z t)*D*((x),(y),(z),(t)) + 2(1 1 1 1)*M^E _B*((x),(y),(z),(t))+1=0$
In forma non matriciale è:
$-x^2-y^2+2z^2+2*sqrt(3)z+2t+1=0$
Da qui completiamo il quadrato $2z^2+2*sqrt(3)z= 2(z+sqrt(3)/2)^2-3/2$ otteniamo quindi:
$-x^2-y^2+2(z+sqrt(3)/2)^2+2(t-1/4)=0$
Trasliamo di $(0,0,sqrt(3)/2,-1/4)$ e arriviamo alla forma canonica:
$-x^2-y^2+2z^2+2t=0$
EDIT: è semplice se hai solo termini misti e termini al quadrato, si complica se hai x,y,z,t singolarmente. Gli autovalori li metti in ordine come ti vengono. Un'iperquadrica è detta conica se siamo in $R^2$, si chiama quadrica se siamo in $R^3$.
Mentre la differenza cruciale tra conica / quadrica?
una è una iperquadrica in $R^2$(conica), l'altra in $R^3$(quadrica)
"Fabiobreo":
una è una iperquadrica in $R^2$(conica), l'altra in $R^3$(quadrica)
Quindi la conica è in due dimensione mentre la quadrica in 3?
certo 
Perfetto.
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