Teoria di Jordan e proiettività: come "leggere" i blocchi?
Come da titolo, non capisco come si "leggano" i blocchi di Jordan quando vado a studiare i sottospazi uniti di una certa proiettività. Esempio: in \(\displaystyle \mathbb{P}^3 (K) \) considero \[\displaystyle \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix} \]
Mi è chiaro che rimangono uniti i punti \(\displaystyle P_{0} \) e \(\displaystyle P_{3} \), e quindi la retta \(\displaystyle P_{0} \vee P_{3} \) è unita e di punti uniti, ma poi?
Gli autovettori generalizzati come si trattano? La dispensa dice che è unita la retta \(\displaystyle P_{0} \vee P_{1} \)... E perché, per esempio, non anche la retta \(\displaystyle P_{0} \vee P_{2} \)?
Ringrazio.
Mi è chiaro che rimangono uniti i punti \(\displaystyle P_{0} \) e \(\displaystyle P_{3} \), e quindi la retta \(\displaystyle P_{0} \vee P_{3} \) è unita e di punti uniti, ma poi?
Gli autovettori generalizzati come si trattano? La dispensa dice che è unita la retta \(\displaystyle P_{0} \vee P_{1} \)... E perché, per esempio, non anche la retta \(\displaystyle P_{0} \vee P_{2} \)?
Ringrazio.
Risposte
Nessuno?
Se la memoria non m'inganna puoi consultare Pasini - Elementi di Algebra e Geometria Vol. III - Liguori editore.
Grazie per il riferimento!
Nel frattempo, benaccetto colui che vorrà spendere direttamente due parole a riguardo. Io non sono ancora riuscito a fare luce in maniera completa sulla questione.
Nel frattempo, benaccetto colui che vorrà spendere direttamente due parole a riguardo. Io non sono ancora riuscito a fare luce in maniera completa sulla questione.
Guarda di geometria non ricordo nulla, ma forse il punto è che l'immagine di $v_2$ non sta dentro il sottospazio generato da $v_0$ e $v_2$... ecco perché $P_0 \vee P_2$ non è unita... può essere? Comunque non fidarti di quello che ti dico, sono l'ultima persona che ti può rispondere in materia di geometria proiettiva.
P.S: Stupenda la firma, quando ho fatto gli esercizi sulle forme bilineari mi aveva fatto morir dal ridere, dopodiché mi sono messo a piangere quando ho scoperto che riuscivo ad usare solo la strategia dell'ingegnere.
P.S: Stupenda la firma, quando ho fatto gli esercizi sulle forme bilineari mi aveva fatto morir dal ridere, dopodiché mi sono messo a piangere quando ho scoperto che riuscivo ad usare solo la strategia dell'ingegnere.
"Lemniscata":
Guarda di geometria non ricordo nulla, ma forse il punto è che l'immagine di $v_2$ non sta dentro il sottospazio generato da $v_0$ e $v_2$... ecco perché $P_0 \vee P_2$ non è unita... può essere? Comunque non fidarti di quello che ti dico, sono l'ultima persona che ti può rispondere in materia di geometria proiettiva. [...]
Ti ringrazio intanto per l'interesse. Ti domando: puoi spiegarti un po' meglio? L'idea forse è corretta.
E' da un po' che mi rompo la testa su questo problema ma non riesco a risolverlo del tutto. Sono lì lì per capire ma mi manca ancora qualcosa... Per esempio: dalla forma canonica noto subito che ci sono due autovettori non generalizzati, ossia due punti uniti. La retta che li congiunge sarà fatta tutta di punti uniti visto che i due autovettori in questione sono associati allo stesso autovalore; dualmente ci sarà tutto un fascio di piani uniti. Il blocchetto \(\displaystyle 2 \times 2 \) in alto a sinistra mi da una retta unita e mentre il blocco di Jordan \(\displaystyle 3 \times 3 \) mi da un piano unito... Tuttavia non capisco come si possa arrivare a dire ciò, non trovo la giusta giustificazione teorica.
Possibile che non ci sia in giro nessuno che si ricordi un po' di geometria proiettiva?
"Lemniscata":
P.S: Stupenda la firma, quando ho fatto gli esercizi sulle forme bilineari mi aveva fatto morir dal ridere, dopodiché mi sono messo a piangere quando ho scoperto che riuscivo ad usare solo la strategia dell'ingegnere.
Forse la giustificazione teorica è semplicemente che un sottospazio è unito quando la proiettività stabilizza tale sottospazio, , ovvero manda il sottospazio in sé, e questo si legge facilmente dalla matrice. Però di nuovo attendi pareri più esperti.
Ho setacciato il web non ho trovato uno straccio di esempio; pertanto scrivo un post a mò di chiarimento discorsivo in modo che possa magari tornare utile ad altri (sono stato a ricevimento dal professore che mi ha illuminato lungo la via per Damasco).
Premessa: la "strategia".
Nello studio degli elementi uniti di una proiettività è opportuno iniziare con il rilevare i punti uniti e, per dualità, i piani uniti. I primi si ricavano dalla matrice della proiettività ridotta in forma di Jordan, mentre i secondi dalla sua trasposta (vedi più avanti). Bisogna innanzitutto ricordare che due punti "legati" ad uno stesso autovalore "originano" una retta di punti uniti (cioè che è unita punto per punto - ovverosia se \(\displaystyle \phi \) è autoproiettività di \(\displaystyle \mathbb{P}^n(K) \), \(\displaystyle P_{0} \) e \(\displaystyle P_{1} \) sono punti uniti associati all'autovalore \(\displaystyle \lambda \), allora vale \(\displaystyle \phi(P)=P \quad \forall P \in P_{0} \vee P_{1} \)). Se invece i punti sono associati ad autovalori distinti, essi genereranno una retta unita (e nella fattispecie gli unici punti uniti di una siffatta retta saranno soltanto loro due). Ricordo poi che un blocchetto di Jordan \(\displaystyle 2 \times 2 \) corrisponde anch'esso ad una retta unita visto che manda il primo punto in sé stesso ed il secondo in una combinazione lineare. Leggere i piani uniti dalla forma di Jordan è un poco sconveniente: a mio avviso è preferibile passare alla trasposta.
Il passo secondo consiste nell'identificazione dei piani uniti mediante la trasposta: ad ogni autovalore (non generalizzato) corrisponde un piano unito. Al che si procede analizzando ogni singolo piano: contiene dei punti uniti? Per dualità conterrà delle rette unite. Oppure: si era rilevata l'esistenza di una retta di punti uniti? Ebbene ci sarà un fascio di piani uniti - e trovare l'asse di questo fascio non è proprio immediato... Se i piani uniti "immediati" (ovvero quelli ricavati dalla lettura della trasposta) sono soltanto due, allora l'asse sarà dato dalla loro intersezione. Se invece i piani "immediati" sono di più, bisogna di nuovo servirsi della struttura reticolare (o reticolata?) dello spazio proiettivo: un punto unito non appartenente alla retta di punti uniti si dualizza in un piano unito non appartenente al fascio; tale piano sarà pertanto il suo diretto corrispondente nella trasposta (oppure il corrispondente del blocchetto di Jordan).
Di nuovo, siccome rette unite stanno su piani uniti, si studiano le intersezioni dei piani trovati e si confrontano con le informazioni a disposizione. Si può poi indicare quali proiettività vengano indotte su ogni sottospazio unito (omologie? Involuzioni?).
Risolverò poi "pubblicamente" un esercizio (magari lo stesso in capothread) utilizzando il giusto formalismo/simbolismo in modo da dissipare ogni dubbio anche negli avventori.
Premessa: la "strategia".
Nello studio degli elementi uniti di una proiettività è opportuno iniziare con il rilevare i punti uniti e, per dualità, i piani uniti. I primi si ricavano dalla matrice della proiettività ridotta in forma di Jordan, mentre i secondi dalla sua trasposta (vedi più avanti). Bisogna innanzitutto ricordare che due punti "legati" ad uno stesso autovalore "originano" una retta di punti uniti (cioè che è unita punto per punto - ovverosia se \(\displaystyle \phi \) è autoproiettività di \(\displaystyle \mathbb{P}^n(K) \), \(\displaystyle P_{0} \) e \(\displaystyle P_{1} \) sono punti uniti associati all'autovalore \(\displaystyle \lambda \), allora vale \(\displaystyle \phi(P)=P \quad \forall P \in P_{0} \vee P_{1} \)). Se invece i punti sono associati ad autovalori distinti, essi genereranno una retta unita (e nella fattispecie gli unici punti uniti di una siffatta retta saranno soltanto loro due). Ricordo poi che un blocchetto di Jordan \(\displaystyle 2 \times 2 \) corrisponde anch'esso ad una retta unita visto che manda il primo punto in sé stesso ed il secondo in una combinazione lineare. Leggere i piani uniti dalla forma di Jordan è un poco sconveniente: a mio avviso è preferibile passare alla trasposta.
Il passo secondo consiste nell'identificazione dei piani uniti mediante la trasposta: ad ogni autovalore (non generalizzato) corrisponde un piano unito. Al che si procede analizzando ogni singolo piano: contiene dei punti uniti? Per dualità conterrà delle rette unite. Oppure: si era rilevata l'esistenza di una retta di punti uniti? Ebbene ci sarà un fascio di piani uniti - e trovare l'asse di questo fascio non è proprio immediato... Se i piani uniti "immediati" (ovvero quelli ricavati dalla lettura della trasposta) sono soltanto due, allora l'asse sarà dato dalla loro intersezione. Se invece i piani "immediati" sono di più, bisogna di nuovo servirsi della struttura reticolare (o reticolata?) dello spazio proiettivo: un punto unito non appartenente alla retta di punti uniti si dualizza in un piano unito non appartenente al fascio; tale piano sarà pertanto il suo diretto corrispondente nella trasposta (oppure il corrispondente del blocchetto di Jordan).
Di nuovo, siccome rette unite stanno su piani uniti, si studiano le intersezioni dei piani trovati e si confrontano con le informazioni a disposizione. Si può poi indicare quali proiettività vengano indotte su ogni sottospazio unito (omologie? Involuzioni?).
Risolverò poi "pubblicamente" un esercizio (magari lo stesso in capothread) utilizzando il giusto formalismo/simbolismo in modo da dissipare ogni dubbio anche negli avventori.
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