[Teoria dei sistemi] Molteplicità geometrica di autovalori della matrice di transizione
Salve a tutti,
mi trovo in difficoltà su un argomento apparentemente banale ma che non riesco a capire.
Sul mio testo di teoria dei sistemi si dice che quando si trasforma la matrice di transizione \(\displaystyle \Phi(t) = e^{At} \) dal dominio del tempo al dominio di Laplace, si ottiene una matrice \(\displaystyle \Phi(s)=(sI-A)^{-1} \) avente come denominatore il polinomio minimo, ovvero un polinomio fattore del polinomio caratteristico di \(\displaystyle (sI-A)^{-1} \), ma che ha tutti i termini \(\displaystyle (s - \lambda_i) \) di grado pari alla molteplicità geometrica dei rispettivi autovalori \(\displaystyle \lambda_i \).
Fino a qui nessun problema. Poi però fa degli esempi, apparentemente banali ma che mi hanno messo in difficoltà:
Come vedete nel primo esempio dice che l'unico autovalore della matrice, ossia -1, ha molteplicità geometrica unitaria, ma rispolverando le mie conoscenze di algebra lineare mi risulta che questo non sia vero, infatti fino ad ora credevo che la molteplicità geometrica di un autovalore si calcolasse con \(\displaystyle mg(\lambda) = dim(A) - rg(A-\lambda I) \), giusto?
O forse mi sbaglio? Se dovessi avere ragione, allora la molteplicità geometrica dell'autovalore dovrebbe essere pari a 2, perciò il denominatore di \(\displaystyle (sI-A)^{-1} \) dovrebbe essere di grado 2, ma questo è evidentemente falso.
Lo stesso problema lo ritroviamo nell'esempio successivo, dove abbiamo una matrice che ha un solo autovalore, sempre -1, ma stavolta con molteplicità geometrica unitaria (sempre se i miei calcoli sono corretti). Quindi secondo il professore il denominatore dovrebbe essere di grado 2, mentre vediamo che ha grado 2.
Quindi cosa ho sbagliato? Ma soprattutto, ho davvero sbagliato? Purtroppo questo libro contiene una marea di errori, sia grammaticali che in vari passaggi algebrici, quindi non mi stupirei se anche questo fosse sbagliato.
mi trovo in difficoltà su un argomento apparentemente banale ma che non riesco a capire.
Sul mio testo di teoria dei sistemi si dice che quando si trasforma la matrice di transizione \(\displaystyle \Phi(t) = e^{At} \) dal dominio del tempo al dominio di Laplace, si ottiene una matrice \(\displaystyle \Phi(s)=(sI-A)^{-1} \) avente come denominatore il polinomio minimo, ovvero un polinomio fattore del polinomio caratteristico di \(\displaystyle (sI-A)^{-1} \), ma che ha tutti i termini \(\displaystyle (s - \lambda_i) \) di grado pari alla molteplicità geometrica dei rispettivi autovalori \(\displaystyle \lambda_i \).
Fino a qui nessun problema. Poi però fa degli esempi, apparentemente banali ma che mi hanno messo in difficoltà:
Come vedete nel primo esempio dice che l'unico autovalore della matrice, ossia -1, ha molteplicità geometrica unitaria, ma rispolverando le mie conoscenze di algebra lineare mi risulta che questo non sia vero, infatti fino ad ora credevo che la molteplicità geometrica di un autovalore si calcolasse con \(\displaystyle mg(\lambda) = dim(A) - rg(A-\lambda I) \), giusto?
O forse mi sbaglio? Se dovessi avere ragione, allora la molteplicità geometrica dell'autovalore dovrebbe essere pari a 2, perciò il denominatore di \(\displaystyle (sI-A)^{-1} \) dovrebbe essere di grado 2, ma questo è evidentemente falso.
Lo stesso problema lo ritroviamo nell'esempio successivo, dove abbiamo una matrice che ha un solo autovalore, sempre -1, ma stavolta con molteplicità geometrica unitaria (sempre se i miei calcoli sono corretti). Quindi secondo il professore il denominatore dovrebbe essere di grado 2, mentre vediamo che ha grado 2.
Quindi cosa ho sbagliato? Ma soprattutto, ho davvero sbagliato? Purtroppo questo libro contiene una marea di errori, sia grammaticali che in vari passaggi algebrici, quindi non mi stupirei se anche questo fosse sbagliato.
Risposte
"Outsider1798":
\(\displaystyle mg(\lambda) = dim(A) - rg(A-\lambda I) \)giusto?
Grazie per la conferma! Quindi devo dedurre che il libro è effettivamente sbagliato.
C'è qualcuno che sappia cosa avrebbe voluto dire veramente?
C'è qualcuno che sappia cosa avrebbe voluto dire veramente?
"Outsider1798":
C'è qualcuno che sappia cosa avrebbe voluto dire veramente?
Su questo non ti so aiutare.
Il consiglio è di rifare i conti da capo.
La seconda matrice è un blocco di Jordan, quindi mi pare strano che la molteplicità geometrica del suo unico autovalore uguagli quella algebrica... Probabilmente sono state invertite le matrici.
La seconda matrice è un blocco di Jordan, quindi mi pare strano che la molteplicità geometrica del suo unico autovalore uguagli quella algebrica... Probabilmente sono state invertite le matrici.
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