Teoria degli Insiemi - Esercizi 1.1.11 e 1.1.12
Ed eccoci qui ancora con altri esercizi e cui con le mie arti magiche cercherò di dar risposta 
1.1.11
Provare che qualunque siano gli insiemi $S$, $T$ e $V$, risulta:
$S \cap (T \setminus V) = (S \cap T) \setminus (S \cap V)$.
1.1.12
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$ e $T$, risulta:
$S \cup (T \setminus S) = S \cup T$.
A presto per le soluzioni o richieste di aiutini.
1.1.11
Provare che qualunque siano gli insiemi $S$, $T$ e $V$, risulta:
$S \cap (T \setminus V) = (S \cap T) \setminus (S \cap V)$.
1.1.12
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$ e $T$, risulta:
$S \cup (T \setminus S) = S \cup T$.
A presto per le soluzioni o richieste di aiutini.
Risposte
Dimostriamo la 1.1.11
1.1.11
Provare che qualunque siano gli insiemi $S$, $T$ e $V$, risulta
$S \cap (T \setminus V) = (S \cap T) \setminus (S \cap V)$.
$\subseteq$ : $S \cap (T \setminus V) \subseteq (S \cap T) \setminus (S \cap V)$
Sia $x \in S \cap (T \setminus V) \Rightarrow x \in S$ e $x \in T \setminus V \Rightarrow x \in S$ e $x \in T e x \notin V \Rightarrow x \in S \cap T e x \notin V \Rightarrow$ poichè $S \cap V \subseteq V$, $x \in S \cap T e x \notin S \cap V \Rightarrow x \in (S \cap T) \setminus (S \cap V)$.
$\supseteq$ : $(S \cap T) \setminus (S \cap V) \subseteq S \cap (T \setminus V)$
Sia $x \in (S \cap T) \setminus (S \cap V) \Rightarrow x \in S \cap T$ e $x \notin S \cap V \Rightarrow x \in S \cap T$ e $x \notin S$ o $x \notin V$, abbiamo due casi di cui consideriamo solo:
1) $x \notin V \Rightarrow x \in S \cap T$ e $x \notin V \Rightarrow x \in S$ e $x \in T$ e $x \notin V \Rightarrow x \in S$ e $x \in T \setminus V \Rightarrow x \in S \cap (T \setminus V)$.
La doppia inclusione dimostra l'uguaglianza
Fatemi sapere se va ben ^__^
1.1.11
Provare che qualunque siano gli insiemi $S$, $T$ e $V$, risulta
$S \cap (T \setminus V) = (S \cap T) \setminus (S \cap V)$.
$\subseteq$ : $S \cap (T \setminus V) \subseteq (S \cap T) \setminus (S \cap V)$
Sia $x \in S \cap (T \setminus V) \Rightarrow x \in S$ e $x \in T \setminus V \Rightarrow x \in S$ e $x \in T e x \notin V \Rightarrow x \in S \cap T e x \notin V \Rightarrow$ poichè $S \cap V \subseteq V$, $x \in S \cap T e x \notin S \cap V \Rightarrow x \in (S \cap T) \setminus (S \cap V)$.
$\supseteq$ : $(S \cap T) \setminus (S \cap V) \subseteq S \cap (T \setminus V)$
Sia $x \in (S \cap T) \setminus (S \cap V) \Rightarrow x \in S \cap T$ e $x \notin S \cap V \Rightarrow x \in S \cap T$ e $x \notin S$ o $x \notin V$, abbiamo due casi di cui consideriamo solo:
1) $x \notin V \Rightarrow x \in S \cap T$ e $x \notin V \Rightarrow x \in S$ e $x \in T$ e $x \notin V \Rightarrow x \in S$ e $x \in T \setminus V \Rightarrow x \in S \cap (T \setminus V)$.
La doppia inclusione dimostra l'uguaglianza
Fatemi sapere se va ben ^__^
Risolviamo la 1.1.12
1.1.12
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$ e $T$, risulta
$S \cup (T \setminus S) = S \cup T$
$\subseteq$ : $S \cup (T \setminus S) \subseteq S \cup T$
Sia $x \in S \cup (T \setminus S) \Rightarrow$ poichè $T \setminus S \subseteq T \Rightarrow x \in S \cup T$.
$\supseteq$ : $S \cup T \subseteq S \cup (T \setminus S)$
Sia $x \in S \cup T \Rightarrow x \in S$ o $x \in T$ abbiamo due casi:
1) $x \in S \Rightarrow x \in S \cup (T \setminus S)$
2) $x \notin S \Rightarrow x \in T \Rightarrow x \in T \setminus S \Rightarrow x \in S \cup (T \setminus S)$.
Anche questo verifica l'uguaglianza.
Speriamo bene
1.1.12
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$ e $T$, risulta
$S \cup (T \setminus S) = S \cup T$
$\subseteq$ : $S \cup (T \setminus S) \subseteq S \cup T$
Sia $x \in S \cup (T \setminus S) \Rightarrow$ poichè $T \setminus S \subseteq T \Rightarrow x \in S \cup T$.
$\supseteq$ : $S \cup T \subseteq S \cup (T \setminus S)$
Sia $x \in S \cup T \Rightarrow x \in S$ o $x \in T$ abbiamo due casi:
1) $x \in S \Rightarrow x \in S \cup (T \setminus S)$
2) $x \notin S \Rightarrow x \in T \Rightarrow x \in T \setminus S \Rightarrow x \in S \cup (T \setminus S)$.
Anche questo verifica l'uguaglianza.
Speriamo bene
"goldengirl":
:wink:
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