Teorema sulle forme bilineari
Ciao, non riesco a capire un teorema che dice (Sernesi p. 223):
Siano:
$ K $ un campo algebricamente chiuso
$ V(K) $ uno spazio vettoriale ( $ dim V = n >= 1 $ )
$ b $ : $ V xx V $ $ -> K $ una forma bilineare simmetrica
$ r $ il rango di b
Allora: esiste una base diagonalizzante per b tale che la matrice di $ b $ ha la forma: $ D= $ $ ( ( I_r , 0_1 ),( 0_2 , 0_3 ) ) $
Non riesco a capire come mai $ I_r $ è proprio di ordine $ r $.
La dimostrazione in effetti inizia così: Esiste una base per cui la matrice di b è diagonale. Possiamo supporre $ a_11 $ , ... , $ a_rr $ $ != 0 $ , gli altri uguali a zero... " (indico con $ a_11 $ , ... , $ a_rr $ gli elementi sulla diagonale).
... Quindi ci sono $ n-r $ colonne uguali a $ (0,0,0...0) $ ? Perché?
Oh grazie mille, 'notte!
Siano:
$ K $ un campo algebricamente chiuso
$ V(K) $ uno spazio vettoriale ( $ dim V = n >= 1 $ )
$ b $ : $ V xx V $ $ -> K $ una forma bilineare simmetrica
$ r $ il rango di b
Allora: esiste una base diagonalizzante per b tale che la matrice di $ b $ ha la forma: $ D= $ $ ( ( I_r , 0_1 ),( 0_2 , 0_3 ) ) $
Non riesco a capire come mai $ I_r $ è proprio di ordine $ r $.
La dimostrazione in effetti inizia così: Esiste una base per cui la matrice di b è diagonale. Possiamo supporre $ a_11 $ , ... , $ a_rr $ $ != 0 $ , gli altri uguali a zero... " (indico con $ a_11 $ , ... , $ a_rr $ gli elementi sulla diagonale).
... Quindi ci sono $ n-r $ colonne uguali a $ (0,0,0...0) $ ? Perché?
Oh grazie mille, 'notte!
Risposte
Beh se il rango della forma bilineare è $r$, $r$ sarà anche il rango della matrice che la rappresenta, quindi a meno di riduzioni a scala (e di passare alla base canonica), hai che i primi $r$ sono non nulli.
èvvvvero ! 
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