Teorema sul rango delle colonne e righe di matrici
ciao volevo chiederese qualcuno conosce la dimostrazione del seguente teorema riguardo la matrici
"In una matrice il numero massimo di vettori-colonna linearmente indipendenti è uguale al numero massimo di vettori-riga linearmente indipendenti"
grazie!
"In una matrice il numero massimo di vettori-colonna linearmente indipendenti è uguale al numero massimo di vettori-riga linearmente indipendenti"
grazie!
Risposte
Sia $A=(a_(ij))$ una matrice $m times n$ su un campo $K$.
Poniamo $dim langle A_1, ldots, A_n rangle = r$ e $dim langle A^1,ldots,A^nrangle=c$. Fra i vettori riga è possibile selezionare una base, sia questa $B={A_(h_1),ldots,A_(h_r)}$.
Ciascuno dei vettori riga può esprimersi come combinazione lineare dei vettori di $B$, poniamo, per $i=1,ldots,m$, $A_i=lambda_(i1)A_(h_1)+ldots+lambda_(ir)A_(hr)$,
cioè $(a_(i1),ldots,a_(i n))=lambda_(i1)(a_(h_11),ldots,a_(h_1n))+ldots+lambda_(ir)(a_(h_r 1),ldots,a_(h_r n))$. Ne segue, per ogni $i=1,ldots,n$, $a_(ij)=lambda_(i1)a_(h_1j)+ldots+lambda_(ir)a_(h_rj)$, quindi, per ogni $j=1,ldots, n$ si ha
${(a_(1j)=lambda_(11)a_(h_1j)+ldots+lambda_(1r)a_(h_rj)),(ldots ldots ldots ldots),(a_(mj)=lambda_(m1)a_(h_1j)+ldots+lambda_(mr)a_(h_rj)):}$
Posto allora $Lambda^1=((lambda_(11)),(vdots),(lambda_(m1))),ldots,Lambda^r=((lambda_(1r)),(vdots),(lambda_(mr)))$,
si può scrivere, per ogni $j=1,ldots,n$, $A^j=a_(h_1j)Lambda^1+ldots+a_(h_rj)Lambda^r$.
Pertanto il sottospazio di $K^m$ ($K$ è il campo di riferimento) $langle A^1,ldots,A^n rangle $ è contenuto nel sottospazio $langle Lambda^1,ldots, Lambda^r rangle$.
Ne segue $c=dimlangle A^1,ldots,A^n rangle leq dim langle Lambda^1,ldots,Lambda^r rangle leq r$.
Ripetendo questo procedimento a partire dai vettori colonna della matrice si ottiene $r leq c$, dunque $r=c$.
Poniamo $dim langle A_1, ldots, A_n rangle = r$ e $dim langle A^1,ldots,A^nrangle=c$. Fra i vettori riga è possibile selezionare una base, sia questa $B={A_(h_1),ldots,A_(h_r)}$.
Ciascuno dei vettori riga può esprimersi come combinazione lineare dei vettori di $B$, poniamo, per $i=1,ldots,m$, $A_i=lambda_(i1)A_(h_1)+ldots+lambda_(ir)A_(hr)$,
cioè $(a_(i1),ldots,a_(i n))=lambda_(i1)(a_(h_11),ldots,a_(h_1n))+ldots+lambda_(ir)(a_(h_r 1),ldots,a_(h_r n))$. Ne segue, per ogni $i=1,ldots,n$, $a_(ij)=lambda_(i1)a_(h_1j)+ldots+lambda_(ir)a_(h_rj)$, quindi, per ogni $j=1,ldots, n$ si ha
${(a_(1j)=lambda_(11)a_(h_1j)+ldots+lambda_(1r)a_(h_rj)),(ldots ldots ldots ldots),(a_(mj)=lambda_(m1)a_(h_1j)+ldots+lambda_(mr)a_(h_rj)):}$
Posto allora $Lambda^1=((lambda_(11)),(vdots),(lambda_(m1))),ldots,Lambda^r=((lambda_(1r)),(vdots),(lambda_(mr)))$,
si può scrivere, per ogni $j=1,ldots,n$, $A^j=a_(h_1j)Lambda^1+ldots+a_(h_rj)Lambda^r$.
Pertanto il sottospazio di $K^m$ ($K$ è il campo di riferimento) $langle A^1,ldots,A^n rangle $ è contenuto nel sottospazio $langle Lambda^1,ldots, Lambda^r rangle$.
Ne segue $c=dimlangle A^1,ldots,A^n rangle leq dim langle Lambda^1,ldots,Lambda^r rangle leq r$.
Ripetendo questo procedimento a partire dai vettori colonna della matrice si ottiene $r leq c$, dunque $r=c$.
grazie !
purtroppo pero' non ho il prog per visualizzare le formule...il link poi non funziona..come posso fare?
purtroppo pero' non ho il prog per visualizzare le formule...il link poi non funziona..come posso fare?
se usate firefox sono necessarie soltanto delle fonts matematiche che potete scaricare dal questo link: http://web.mit.edu/atticus/www/mathml/m ... .0-fc1.msi
se usate internet explorer prima di tutto vi consiglio di passare a firefox, nel caso poi siate masochisti e vogliate continuare ad usarlo scaricate questo plugin: http://www.dessci.com/en/products/mathp ... wnload.htm
Qui trovi tutto quello che serve. Ho controllato e funzionano entrambi.
grazie mi sei stato davvero d'aiuto!
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