Teorema sugli endomorfismi (Geometria I)

[Help2]

Ipotesi: $f$ è un endomorfismo di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$

Tesi: Il polinomio caratteristico di $f$ non dipende dalla base di $V$ scelta per la sua determinazione.

Dimostrazione: Si ottiene provando che: $det(A-lambdaI)=det(P^-1AP-lambdaI)$, con $A$ matrice quadrata di ordine $n$, $P$ matrice invertibile di ordine $n$, $I$ matrice unità di ordine $n$. Quindi: $det(P^-1AP-lambdaI)=det(P^-1(A-lambdaI)P)=detP^-1det(A-lambdaI)detP=det(A-lambdaI)$

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Mi sono perso qualche passaggio... L'unico che ho capito è il terzo "=", dove si usa il teorema di binet. Mi spiegate gli altri?

Grazie

saluti

[Pappus]

Avrai sicuramente visto che se f è rappresentata da una matrice A rispetto ad una certa base, cambiando base la f è rappresentata da una
matrice M che è simile ad A, cioè $M=P^-1 A P$ con P invertibile. Per dire che effettivamente il polinomio c. non dipende dalla base vuoi verificare
che il polinomio c. non dipende da matrici simili, cioè che $det(M-\lambda I)=det(A-\lambda I)$, ed è ciò che fai nelle ultime equazioni,
dove usi il fatto che $P^-1 AP-\lambda I=P^-1 (A-\lambda I)P$ (utilizzando la proprietà distributiva del prodotto di matrici)