Teorema su basi e vettori linearmente indipendenti
Salve a tutti, a lezione abbiamo fatto il seguente teorema ma non trovo più la dimostrazione... in più, ho cercato su internet ma non ho trovato nulla (il mio prof segue un programma abbastanza particolare)
"Sia $v_1, ..., v_n$ una base di $V$ spazio vettoriale e $w_1, ..., w_m$ un insieme di vettori in $V$ linearmente indipendenti. Si ha allora che $m <= n$."
Sapreste trovarmi la dimostrazionee? O darmi qualche spunto voi per ricavarmela da solo?
"Sia $v_1, ..., v_n$ una base di $V$ spazio vettoriale e $w_1, ..., w_m$ un insieme di vettori in $V$ linearmente indipendenti. Si ha allora che $m <= n$."
Sapreste trovarmi la dimostrazionee? O darmi qualche spunto voi per ricavarmela da solo?
Risposte
Mi sembra strano che tu non lo abbia trovato, è piuttosto standard come teorema.
Hint: riduci per righe (o colonne a seconda di come scrivi le cose).
Se hai problemi con il suggerimento ti ho scritto la dimostrazione completa qui. Ma prima prova a ragionarci su.
[ot]Supponiamo che si abbia \(\displaystyle m\ge n \) (attenzione non è una dimostrazione per assurdo). Siccome \(\displaystyle \{v_i\} \) è una base allora \(\displaystyle w_j = \sum_{i=1}^n w_j^iv_i \) per degli \(\displaystyle \{w_j^i\} \) univocamente determinati. Se \(\displaystyle n = 1 \) allora \(\displaystyle w_j = w_j^1v_1 = \frac{w_j^1}{w_k^1}w_k \). Per l'indipendenza lineare di \(\displaystyle \{w_j\} \) si deve perciò avere \(\displaystyle m = 1 \). Supponiamo quindi \(\displaystyle n>1 \).
A meno di riodinare l'insieme \(\displaystyle v_i \) posso supporre che \(\displaystyle w_1^1\neq 0 \). Allora posso scrivere \(\displaystyle v_1 = \frac{\sum_{i=2}^n w_1^iv_i - w_1}{w_1^1} \). Perciò \(\displaystyle w_j = \sum_{i=1}^n w_j^iv_i = w_j^1\frac{\sum_{i=2}^n w_1^iv_i - w_1}{w_1^1} + \sum_{i=2}^n w_j^iv_i = \sum_{i=2}^n \frac{w_1^1 w_j^i + w_1^i}{w_1^1} v_i - \frac{w_j^1}{w_1^1} w_1\). Pongo quindi \(\displaystyle w_j^{(1)} = w_j + - \frac{w_j^1}{w_1^1} w_1 \). Nota che ora i vettori indipendenti \(\displaystyle w_j^{(1)} \) sono composizioni lineari di al più \(\displaystyle n-1 \) vettori della base \(\displaystyle \{v_i\} \). Nota inoltre che nessun \(\displaystyle w_j^{(1)} \) è nullo per le ipotesi di indipendenza lineare di \(\displaystyle \{w_j\} \).
Se \(\displaystyle n=2 \) allora i \(\displaystyle w_j^{(1)} \) sono tutti generati da \(\displaystyle v_2 \) e quindi \(\displaystyle m = 2 \).
A meno di riodinare ancora l'insieme \(\displaystyle v_i \) posso supporre che il coefficiente di \(\displaystyle w_2^{(1)} \) rispetto a \(\displaystyle v_2 \) sia non nullo. Posso quindi ripetere lo stesso procedimento e generare i vettori indipendenti \(\displaystyle \{w_j^{(2)}\}_{3\le j\le m} \). Questi elementi sono composizioni lineari di al più \(\displaystyle n-2 \) vettori della base \(\displaystyle \{v_i\} \).
Procedendo di questo passo costruisco i vettori linearmente indipendenti \(\displaystyle \{w_j^{(k)}\}_{k+1\le j\le m} \) composizione lineare di al più \(\displaystyle n-k \) vettori della base \(\displaystyle \{v_i\} \). Notiamo ora che i vettori \(\displaystyle \{w_j^{(n-1)}\}_{n\le j\le m} \) sono composizione lineare di al più \(\displaystyle n - (n-1) = 1 \) vettori della base \(\displaystyle \{v_i\} \). Pertanto, essendo le \(\displaystyle w_j \) linearmente indipendenti, si deve avere \(\displaystyle n = m \).[/ot]
Hint: riduci per righe (o colonne a seconda di come scrivi le cose).
Se hai problemi con il suggerimento ti ho scritto la dimostrazione completa qui. Ma prima prova a ragionarci su.
[ot]Supponiamo che si abbia \(\displaystyle m\ge n \) (attenzione non è una dimostrazione per assurdo). Siccome \(\displaystyle \{v_i\} \) è una base allora \(\displaystyle w_j = \sum_{i=1}^n w_j^iv_i \) per degli \(\displaystyle \{w_j^i\} \) univocamente determinati. Se \(\displaystyle n = 1 \) allora \(\displaystyle w_j = w_j^1v_1 = \frac{w_j^1}{w_k^1}w_k \). Per l'indipendenza lineare di \(\displaystyle \{w_j\} \) si deve perciò avere \(\displaystyle m = 1 \). Supponiamo quindi \(\displaystyle n>1 \).
A meno di riodinare l'insieme \(\displaystyle v_i \) posso supporre che \(\displaystyle w_1^1\neq 0 \). Allora posso scrivere \(\displaystyle v_1 = \frac{\sum_{i=2}^n w_1^iv_i - w_1}{w_1^1} \). Perciò \(\displaystyle w_j = \sum_{i=1}^n w_j^iv_i = w_j^1\frac{\sum_{i=2}^n w_1^iv_i - w_1}{w_1^1} + \sum_{i=2}^n w_j^iv_i = \sum_{i=2}^n \frac{w_1^1 w_j^i + w_1^i}{w_1^1} v_i - \frac{w_j^1}{w_1^1} w_1\). Pongo quindi \(\displaystyle w_j^{(1)} = w_j + - \frac{w_j^1}{w_1^1} w_1 \). Nota che ora i vettori indipendenti \(\displaystyle w_j^{(1)} \) sono composizioni lineari di al più \(\displaystyle n-1 \) vettori della base \(\displaystyle \{v_i\} \). Nota inoltre che nessun \(\displaystyle w_j^{(1)} \) è nullo per le ipotesi di indipendenza lineare di \(\displaystyle \{w_j\} \).
Se \(\displaystyle n=2 \) allora i \(\displaystyle w_j^{(1)} \) sono tutti generati da \(\displaystyle v_2 \) e quindi \(\displaystyle m = 2 \).
A meno di riodinare ancora l'insieme \(\displaystyle v_i \) posso supporre che il coefficiente di \(\displaystyle w_2^{(1)} \) rispetto a \(\displaystyle v_2 \) sia non nullo. Posso quindi ripetere lo stesso procedimento e generare i vettori indipendenti \(\displaystyle \{w_j^{(2)}\}_{3\le j\le m} \). Questi elementi sono composizioni lineari di al più \(\displaystyle n-2 \) vettori della base \(\displaystyle \{v_i\} \).
Procedendo di questo passo costruisco i vettori linearmente indipendenti \(\displaystyle \{w_j^{(k)}\}_{k+1\le j\le m} \) composizione lineare di al più \(\displaystyle n-k \) vettori della base \(\displaystyle \{v_i\} \). Notiamo ora che i vettori \(\displaystyle \{w_j^{(n-1)}\}_{n\le j\le m} \) sono composizione lineare di al più \(\displaystyle n - (n-1) = 1 \) vettori della base \(\displaystyle \{v_i\} \). Pertanto, essendo le \(\displaystyle w_j \) linearmente indipendenti, si deve avere \(\displaystyle n = m \).[/ot]
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