Teorema spettrale reale - Dimostrazione
Buongiorno a tutti.
Dunque:
Sia $\phi : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ un endomorfismo simmetrico.
Allora esiste una base ortonormale di autovettori di $\phi$. In particolare gli autovalori di $\phi$ sono reali.
Voglio dimostrare quest'ultima cosa "gli autovalori di $\phi$ sono reali".
Dim.:
sia $c\in \mathbb{C}$ tale che $\phi(v) = cv$ per un certo $v\ne 0$.
$c = = $
Fin qui tutto ok. È il passaggio seguente che mi turba, cioè si passa da:
$ = < \phi(v)|v>$
Il prodotto scalar hermitiano è commutativo? Non mi pare...
Hanno sfruttato il fatto che $\phi(v)$ è stata definita nel campo reale, quindi anche il prodotto scalare hermitiano in R diventa commutativo?
È un dubbio stupido, scusate il disturbo.
Dunque:
Sia $\phi : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ un endomorfismo simmetrico.
Allora esiste una base ortonormale di autovettori di $\phi$. In particolare gli autovalori di $\phi$ sono reali.
Voglio dimostrare quest'ultima cosa "gli autovalori di $\phi$ sono reali".
Dim.:
sia $c\in \mathbb{C}$ tale che $\phi(v) = cv$ per un certo $v\ne 0$.
$c
Fin qui tutto ok. È il passaggio seguente che mi turba, cioè si passa da:
$
Il prodotto scalar hermitiano è commutativo? Non mi pare...
Hanno sfruttato il fatto che $\phi(v)$ è stata definita nel campo reale, quindi anche il prodotto scalare hermitiano in R diventa commutativo?
È un dubbio stupido, scusate il disturbo.
Risposte
Ricordati la definizione di endomorfismo lineare simmetrico!
Giusto. Grazie mille.
Prego, di nulla! 
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