Teorema spettrale nei complessi
Dimostrando il teorema spettrale (di cui scrivo solo una parte) procedendo per induzione mi trovo davanti l' ennesimo dubbio:
supposta la tesi vera per gli spazi strettamente minori di $n$, proviamola per $X$ supposto di dimensione $n$
definiamo il complemento ortogonale di $u$ come il sottospazio $W={winX:wu=0}$ $AAuinX$
$A$ trasforma $W$ in sè.
1o dubbio: immagino significhi che $A(w)inW$
poiché $uinX$ e $unotinW$ ne segue che $dim W < dim X$
2o dubbio: perché l'insieme $W$ contiene meno elementi rispetto a $X$?
per l'ipotesi induttiva esisterà una base di $W$ formata da autovettori di $A$ di norma unitaria e a due a due ortogonali, e siano $w_1,...,w_k$
3o dubbio: non capisco perché. L'ipotesi non riguarda lo spazio vettoriale $X?!$
supposta la tesi vera per gli spazi strettamente minori di $n$, proviamola per $X$ supposto di dimensione $n$
definiamo il complemento ortogonale di $u$ come il sottospazio $W={winX:wu=0}$ $AAuinX$
$A$ trasforma $W$ in sè.
1o dubbio: immagino significhi che $A(w)inW$
poiché $uinX$ e $unotinW$ ne segue che $dim W < dim X$
2o dubbio: perché l'insieme $W$ contiene meno elementi rispetto a $X$?
per l'ipotesi induttiva esisterà una base di $W$ formata da autovettori di $A$ di norma unitaria e a due a due ortogonali, e siano $w_1,...,w_k$
3o dubbio: non capisco perché. L'ipotesi non riguarda lo spazio vettoriale $X?!$
Risposte
1. sì: $A$ ristretto a $W$ assume valori in $W$.
2. $W$ non contiene meno elementi, ha dimensione minore.
3. L'ipotesi induttiva vale per tutti gli spazi di dimensione minore di $n$, $W$ è uno di questi.
2. $W$ non contiene meno elementi, ha dimensione minore.
3. L'ipotesi induttiva vale per tutti gli spazi di dimensione minore di $n$, $W$ è uno di questi.
"killing_buddha":
2. $W$ non contiene meno elementi, ha dimensione minore.
E' quello che non capisco, perché ha dimensione minore? Per essere tale dovrebbe contenere una base con un numero di elementi più piccolo di $X$ ma non riesco a trovare una spiegazione
3. L'ipotesi induttiva vale per tutti gli spazi di dimensione minore di $n$, $W$ è uno di questi.
Ok, Ma per affermare ciò significa forse che $A:W->W$ deve essere autoaggiunto? Se si perché lo è? So che $A:X->X$ è autoaggiunto ma perché anche nei confronti di $W$?
E' quello che non capisco, perché ha dimensione minore? Per essere tale dovrebbe contenere una base con un numero di elementi più piccolo di $X$ ma non riesco a trovare una spiegazione
Ok, Ma per affermare ciò significa forse che $A:W->W$ deve essere autoaggiunto? Se si perché lo è? So che $A:X->X$ è autoaggiunto ma perché anche nei confronti di $W$?
Entrambe le cose sono davvero ovvie, pensaci.
"killing_buddha":
2. $W$ non contiene meno elementi, ha dimensione minore.
Non ho fatto algebra complessa, però questa asserzione mi lascia perplesso
Cosa di preciso ti imperplessisce?
[ot]
T'appoooost!
Non so perché ma la mia mente con "$W$" si immaginava in automatico la "base di $W$" 
[/ot]
"killing_buddha":
Cosa di preciso ti imperplessisce?
T'appoooost!
Non so perché ma la mia mente con "$W$" si immaginava in automatico la "base di $W$" [/ot]
"killing_buddha":
E' quello che non capisco, perché ha dimensione minore? Per essere tale dovrebbe contenere una base con un numero di elementi più piccolo di $X$ ma non riesco a trovare una spiegazione
Io ci provo, ma forse le mie basi non sono ancora solide!
$W$ ha dimensione minore: vettori ortogonali sono vettori indipendenti e la dimensione dello spazio è data dal numero di vettori (indipendenti) che costituiscono la base, per cui $W$ contiene solo vettori perpendicolari a $u$ e non i suoi multipli quindi $W$ ha un numero di vettori indipendenti più piccolo pertanto anche la sua dimensione sarà più piccola di $X$.
Ok, Ma per affermare ciò significa forse che $A:W->W$ deve essere autoaggiunto? Se si perché lo è? So che $A:X->X$ è autoaggiunto ma perché anche nei confronti di $W$?
"killing_buddha":
Entrambe le cose sono davvero ovvie, pensaci.
aiutino!
$\dim W < \dim X$ perché $u$ sta in $X$ ma non in $W$; quindi c'è almeno una retta, \(\langle u\rangle\), che sta in un sottospazio complementare a $W$; siccome ogni base di uno spazio ha la stessa cardinalità, la dimensione di $W$ deve essere strettamente minore di quella di tutto lo spazio.
Se $A$ è autoaggiunto e si restringe a un endomorfismo di un sottospazio $W$, allora è autoaggiunto anche sul dominio ristretto: mi sembra ovvio a partire dalla definizione, la forma bilineare -non degenere- rispetto a cui è autoaggiunto spezza lo spazio in due parti in somma diretta (spazi ortogonali sono sempre in somma diretta!), e il fatto che il coso è autoaggiunto significa che rispetta questa decomposizione.
Da ultimo
Quanti punt ha una retta in $\mathbb R^3$? Quanti punti ha $\mathbb R^3$?
Se $A$ è autoaggiunto e si restringe a un endomorfismo di un sottospazio $W$, allora è autoaggiunto anche sul dominio ristretto: mi sembra ovvio a partire dalla definizione, la forma bilineare -non degenere- rispetto a cui è autoaggiunto spezza lo spazio in due parti in somma diretta (spazi ortogonali sono sempre in somma diretta!), e il fatto che il coso è autoaggiunto significa che rispetta questa decomposizione.
Da ultimo
Non ho fatto algebra complessa, però questa asserzione mi lascia perplesso
Quanti punt ha una retta in $\mathbb R^3$? Quanti punti ha $\mathbb R^3$?
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