Teorema spettrale
Ciao 
Spesso mi capita un esercizio dove mi viene data una matrice $A$ reale simmetrica e mi viene detto di trovare una matrice ortogonale tale che $H^TAH$ sia diagonale. La risoluzione di quest'esercizio (semplice e meccanica) fa riferimento al teorema spettrale ("Sia $A$ una matrice reale e simmetrica d'ordine n, allora esiste una base ortogonale di $V$, $dimV=n$, di autovettori di $A$"). Nel caso non venga data da consegna una matrice reale simmetrica, viene detto che non è possibile determinare una matrice $H$ con le proprietà richieste.
Ecco la mia domanda: nel caso la matrice non sia simmetrica, ugualmente io riesco a determinare una matrice $C$ aventi per colonne autovettori di $A$. Tali autovettori formano una base di $V$, e, nel caso non fosse ortogonale, potrei ottenere una base ortogonale tramite il procedimento di Gram-Schimdt. Se poi normalizzo otterrei proprio una matrice ortogonale le cui colonne costituiscono una base di $V$. A cosa serve quindi il teorema spettrale? Perché non è possibile calcolare la matrice $H$ se la matrice di partenza non è simmetrica?
Grazie mille!
(Probabilmente sbaglierò qualche passaggio banale..
)
Spesso mi capita un esercizio dove mi viene data una matrice $A$ reale simmetrica e mi viene detto di trovare una matrice ortogonale tale che $H^TAH$ sia diagonale. La risoluzione di quest'esercizio (semplice e meccanica) fa riferimento al teorema spettrale ("Sia $A$ una matrice reale e simmetrica d'ordine n, allora esiste una base ortogonale di $V$, $dimV=n$, di autovettori di $A$"). Nel caso non venga data da consegna una matrice reale simmetrica, viene detto che non è possibile determinare una matrice $H$ con le proprietà richieste.
Ecco la mia domanda: nel caso la matrice non sia simmetrica, ugualmente io riesco a determinare una matrice $C$ aventi per colonne autovettori di $A$. Tali autovettori formano una base di $V$, e, nel caso non fosse ortogonale, potrei ottenere una base ortogonale tramite il procedimento di Gram-Schimdt. Se poi normalizzo otterrei proprio una matrice ortogonale le cui colonne costituiscono una base di $V$. A cosa serve quindi il teorema spettrale? Perché non è possibile calcolare la matrice $H$ se la matrice di partenza non è simmetrica?
Grazie mille!
(Probabilmente sbaglierò qualche passaggio banale..
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Risposte
Se la matrice non è simmetrica non sei certo di avere una base di autovettori. Inoltre il procedimento di gram-schmidt ti fa perdere la caratteristica di essere essere autovettori. Quindi una matrice può essere diagonalizzabile ma non avere una base di autovettori ortonormali.
Grazie mille! Che sia una base di autovettori però dovrei esserne certo o sbaglio? L'intoppo sta nel procedimento di G-S e basta no?
La molteplicità geometrica può essere strettamente minore di quella algebrica.
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