Teorema rotazioni infinitesimali

[DarkSepiroth]

E' vero che per $n$ qualsiasi, ogni elemento di $SO(n)$ (il gruppo delle matrici di rotazione) è rappresentabile come esponenziale di una matrice antisimmetrica? Oppure è vero solo per $n$ dispari?

[eminova]

E' vero sempre.
per dimostrarlo si parte dal fatto che ogni matrice non singolare $n \times n$ reale è l'esponenziale di una matrice $n \times n$ :
in simboli:
$
A \in GL(n,\mathbb{R}) \Rightarrow A= e^X
$
con $ X \in M(n,\mathbb{R})$
La funzione esponenziale ha diverse proprietà tra cui :
$
e^{X^T}=(e^X)^T
$
dove $X^T$ è la trasposta.
Le matrici ortogonali, di cui le rotazioni sono un sottoinsieme, sono un gruppo definito da:
$
O(n,\mathbb{R})=\{A:A \in GL(n,\mathbb{R}), A A^T=1\}
$
quindi si ha:

$
e^Xe^{X^T}=1
$

e siccome commutano si può usare la proprietà degli esponenziali $e^Ae^B=e^{A+B}$
ottenendo $X+X^T=0$ quindi X è antisimmetrica.
L'ambiente in cui si collocano queste proprietà è quello delle algebre e gruppi di Lie. Una introduzione in web è:
http://www.math.sunysb.edu/~kirillov/ma ... groups.pdf