Teorema Kronecker-Rouchè-Capelli

[VALE014]

buongiorno a tutti, vorrei dei chiarimenti su questo teorema. ho due sistema che applica tale teorema ma in maniera diversa, ovvero $ { ( Kx_1+x_2+x_4=-1 ),( x_1+Kx_3+x_4=2 ),( -x_1+2x_3-x_4=-2 ),( x_1+x_2-Kx_3=1 ):} $ , in questo caso calcola il rango e dice ke per K=-2,2 ho rango 3 , se è diverso da tali valori è 4. va a sostituire se sistema K=2,-2, e successivamente calcola il rango della matrice completa. ed dice che se k=-2 det della matrice completa è uguale a quello della matrice incompleta. calcola ora $x_1,x_2,x_3,X_4$ se k è diverso da -2,2. se k=-2 ed le ricalcola sostituendo a $x_3=u$.
Invece in questo sistema $ { ( x_1-x_2-x_4=k ),( 2x_1+Kx_-+x_4=0 ),( kx_1+2x_2-x_3=1 ):} $ dice il rango è 3 sia della matrice incompleta che completa e calcola direttamente facendo $x_2=t$ .
ora io non capisco cosa cambi tra questi due sistemi in quanto ad uno calcola le soluzioni in 2 modi e nell'altro solo un una maniera.
spero in unavostra risposta, sono molto confusa:(. grazie in anticipo.

[cooper1]

dato che non ho capito nulla di quello che hai scritto (purtroppo ultimamente mi capita spesso, spero di non essere io ), ti spiego il procedimento in generale.
ciò che afferma il teorema è che un sistema $AX=b$ è risolubile se e solo se il rango della matrice incompleta (A) è uguale a quello della matrice completa (fatta accostando A con il vettore dei termini noti che indico A|b).
i passi da fare sono quindi questi:
1. calcolo il rango di A al variare (in questo caso) di K
2. calcolo il rango di A|b al variare di K
3. trovo per quali valori di K i due ranghi coincidono
4. per i valori al punto 3. ho soluzioni per gli altri no. quindi sostituisco questi valori a K e risolvo il sistema

[VALE014]

grazie mille per la risposta in generale ho capito come funzione però non capisco perchè nel prima sistema trova così le soluzioni : $ | ( -1 , 1 , 0 , 1 ),( 2 , 0 , k , 1 ),( -2 , 0 , 2 , -1 ),( 1 , 1 , -k , 0 ) | /(4-k^2) $ e così calcola anche le altre x.
poi le ricalcola facendo $ | ( -1 , 1 , 1 ),( -2-2u , 0 , -1 ),( 1-2u , 1 , 0 ) | /-4 $ e anche qui calcola le altre x.
non capisco perchè usa questi 2 metodi diversi

[cooper1]

dato che hai messo quello che credo essere il determinante a numeratore, deduco stia usando Cramer, con il quale sono poco pratico. detto questo mi sembra possa aver semplificato il secondo sistema usando un parametro libero (riduce di uno i gradi di libertà) e poi usa Cramer come nel primo solo su un sistema più piccolo, magari per semplificare il calcolo del determinante.