Teorema invertibilità matrici tridiagonali
Ciao!
Ho trovato su degli appunti un teorema che afferma:
"Se A è una matrice tridiagonale a dominanza diagonale (non specificato se forte o debole), gli elementi delle diagonale sono negativi e quelli delle codiagonali non negativi, allora la matrice è invertibile"
Non riesco a trovare traccia su nessun libro di questo teorema; non solo, mi sembra pure sbagliato o poco sensato.
Infatti, se la matrice è a dominanza diagonale stretta, allora è invertibile senza che siano necessarie altre condizioni; se è a dominanza diagonale debole ho trovato un esempio in cui il teorema non è verificato, pur essendo verificate le ipotesi:
A = $ ( ( -1 , 0 , 0 , 0 ),( 1 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ) ) $ ha determinante nullo
Non so, forse esiste un teorema simile ma formulato in modo leggermente diverso?
Grazie a chi può aiutarmi
Ho trovato su degli appunti un teorema che afferma:
"Se A è una matrice tridiagonale a dominanza diagonale (non specificato se forte o debole), gli elementi delle diagonale sono negativi e quelli delle codiagonali non negativi, allora la matrice è invertibile"
Non riesco a trovare traccia su nessun libro di questo teorema; non solo, mi sembra pure sbagliato o poco sensato.
Infatti, se la matrice è a dominanza diagonale stretta, allora è invertibile senza che siano necessarie altre condizioni; se è a dominanza diagonale debole ho trovato un esempio in cui il teorema non è verificato, pur essendo verificate le ipotesi:
A = $ ( ( -1 , 0 , 0 , 0 ),( 1 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ) ) $ ha determinante nullo
Non so, forse esiste un teorema simile ma formulato in modo leggermente diverso?
Grazie a chi può aiutarmi
Risposte
Benvenuto nel forum! Ti consiglio di usare la sintassi appropriata per scrivere formule (clic) e matrici, diventa tutto molto più leggibile.
"dissonance":
Benvenuto nel forum! Ti consiglio di usare la sintassi appropriata per scrivere formule (clic) e matrici, diventa tutto molto più leggibile.
Grazie per il benvenuto e per le info sulle formule
AH ho capito. Beh un esempio più semplice era
$((-1, 1), (1, -1))$,
comunque il concetto è quello, si, il teorema è falso se la predominanza diagonale non è stretta, nel qual caso non occorre l'ipotesi di tridiagonalità.
Io francamente non ricordo di avere mai incrociato teoremi di invertibilità specifici per matrici tridiagonali. Una situazione che si verifica spesso in algebra lineare numerica è quella di avere matrici tridiagonali a stretta predominanza diagonale, ma hai già notato che questo caso è banale. Di più non so dirti...
$((-1, 1), (1, -1))$,
comunque il concetto è quello, si, il teorema è falso se la predominanza diagonale non è stretta, nel qual caso non occorre l'ipotesi di tridiagonalità.
Io francamente non ricordo di avere mai incrociato teoremi di invertibilità specifici per matrici tridiagonali. Una situazione che si verifica spesso in algebra lineare numerica è quella di avere matrici tridiagonali a stretta predominanza diagonale, ma hai già notato che questo caso è banale. Di più non so dirti...
Ad esempio vale che se la matrice è dominante diagonale (non necessariamente in senso forte) e irridicibile, allora è nonsingolare: se è dominante stretta ok, in caso contrario c'è almeno un disco di Gerschgorin che passa per l'origine, ma per dominanza debole ce n'è anche uno tutto contenuto in un semipiano, quindi per irriducibilità e per il terzo teorema di gerschgorin $0$ non può essere un autovalore.
Con le tridiagonali così su due piedi non mi viene in mente niente, se non che per testare la riducibilità basta vedere se esiste un elemento in una codiagonale nullo, quindi è vero che se hai una matrice tridiagonale dominante (anche in senso debole) con entrate non nulle in codiagonali, essa è nonsingolare.
(speriamo stavolta di non aver scritto cretinate
)
Con le tridiagonali così su due piedi non mi viene in mente niente, se non che per testare la riducibilità basta vedere se esiste un elemento in una codiagonale nullo, quindi è vero che se hai una matrice tridiagonale dominante (anche in senso debole) con entrate non nulle in codiagonali, essa è nonsingolare.
(speriamo stavolta di non aver scritto cretinate
)
Intanto grazie per le risposte. Purtroppo non ho conoscenze approfondite in questo ambito, quindi non posso ribattere più di tanto se ci si addentra molto nella materia.
il teorema ci è stato presentato in un corso di analisi numerica (ingegneria) a proposito della risoluzione di problemi ai limiti di equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine con il metodo delle differenze centrali; credo comunque che abbia poco a che fare con le equazioni differenziali e sia piu che altro una questione di algebra lineare.
Altri commenti naturalmente sono graditi
il teorema ci è stato presentato in un corso di analisi numerica (ingegneria) a proposito della risoluzione di problemi ai limiti di equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine con il metodo delle differenze centrali; credo comunque che abbia poco a che fare con le equazioni differenziali e sia piu che altro una questione di algebra lineare.
Altri commenti naturalmente sono graditi
Scusa, ma sono nuovo di questo forum.
cmq per quanto riguarda l'invertibilità di una matrice tridiagonale può sfruttare due teoremi.
Per prima cosa definiamo una matrice DIAGONALE DOMINANTE una matrice che risulti diagonale dominante in senso debole per righe e per colonne, ma almeno strettamente diagonale dominante per una riga o colonna.
Quindi hai la proposizione seguente:
PROP. Una matrice tridiagonale tale che $a_{ij} \ne 0$ per $i\ne j$ risulta irriducibile.
TEO. Una matrice strettamente diagonale dominante oppure diagonale dominante ed irriducibile risulta non singolare.
COR. Una matrice tridiagonale tale che $a_{ij} \ne 0$ per $i\ne j$ e che sia diagonale dominante risulta non singolare.
Altrimenti puoi usare il seguente teorema:
TEO. Sia $A$ tridiagonale e diagonale dominante. SE $a_{ii} < 0$ ed $a_{ij} > 0$ per $i\ne j$, allora $A$ risulta non singolare.
Quest'ultimo teorema lo dimostri sfruttando l'espressione del determinante per le matrici tridiagonali ed il fatto che la matrice è diagonale dominante, con la particolare caratterizzazione degli elementi. Inoltre, nella dimostrazione, si vede che le matrici di questa forma con dimensioni pari hanno determinante maggiore di zero,mentre quelle di dimensioni dispari hanno determinante minore di zero.
In verità quest'ultimo teorema equivale a quello che richiede che la matrice sia irriducible, tuttavia, a lezione ce l'hanno presentato così...
In realtà, se gli elementi extradiagonali possono essere anche uguali a zero si trovano esempi in cui il determinante è nullo...
In ogni caso, si possono poi introdurre delle richieste sulla forma dell'equazione differenziale in modo che le ipotesi del teorema siano rispettate.
Spero di esserti stato utile. Ma una curiosità: il corso è METODI NUMERICI PER L'INGEGNERIA tenuto all'università di Firenze??
cmq per quanto riguarda l'invertibilità di una matrice tridiagonale può sfruttare due teoremi.
Per prima cosa definiamo una matrice DIAGONALE DOMINANTE una matrice che risulti diagonale dominante in senso debole per righe e per colonne, ma almeno strettamente diagonale dominante per una riga o colonna.
Quindi hai la proposizione seguente:
PROP. Una matrice tridiagonale tale che $a_{ij} \ne 0$ per $i\ne j$ risulta irriducibile.
TEO. Una matrice strettamente diagonale dominante oppure diagonale dominante ed irriducibile risulta non singolare.
COR. Una matrice tridiagonale tale che $a_{ij} \ne 0$ per $i\ne j$ e che sia diagonale dominante risulta non singolare.
Altrimenti puoi usare il seguente teorema:
TEO. Sia $A$ tridiagonale e diagonale dominante. SE $a_{ii} < 0$ ed $a_{ij} > 0$ per $i\ne j$, allora $A$ risulta non singolare.
Quest'ultimo teorema lo dimostri sfruttando l'espressione del determinante per le matrici tridiagonali ed il fatto che la matrice è diagonale dominante, con la particolare caratterizzazione degli elementi. Inoltre, nella dimostrazione, si vede che le matrici di questa forma con dimensioni pari hanno determinante maggiore di zero,mentre quelle di dimensioni dispari hanno determinante minore di zero.
In verità quest'ultimo teorema equivale a quello che richiede che la matrice sia irriducible, tuttavia, a lezione ce l'hanno presentato così...
In realtà, se gli elementi extradiagonali possono essere anche uguali a zero si trovano esempi in cui il determinante è nullo...
In ogni caso, si possono poi introdurre delle richieste sulla forma dell'equazione differenziale in modo che le ipotesi del teorema siano rispettate.
Spero di esserti stato utile. Ma una curiosità: il corso è METODI NUMERICI PER L'INGEGNERIA tenuto all'università di Firenze??
allora, il teorema che richieda meno ipotesi, o comunque ipotesi diverse dai precedente, che sono riuscito a dimostrare è il seguente
TEO. Sia $A in M(n, RR)$ una matrice tridiagonale e diagonale dominante in senso debole, tale che $a_{ii} \ne 0$ per $i = 1, ..., n$ ed $a_{ij} \ne 0$ per $j > i$. Allora la matrice è invertibile.
Chiaramente, essendo $\det(A) = \det(A^T)$ si può considerare anche il caso in cui siano diversi da zero gli elementi al di sopra della diagonale. La dimostrazione si fa sempre con la regola per il determinante di una matrice tridiagonale e tenendo conto delle maggiorazioni.
TEO. Sia $A in M(n, RR)$ una matrice tridiagonale e diagonale dominante in senso debole, tale che $a_{ii} \ne 0$ per $i = 1, ..., n$ ed $a_{ij} \ne 0$ per $j > i$. Allora la matrice è invertibile.
Chiaramente, essendo $\det(A) = \det(A^T)$ si può considerare anche il caso in cui siano diversi da zero gli elementi al di sopra della diagonale. La dimostrazione si fa sempre con la regola per il determinante di una matrice tridiagonale e tenendo conto delle maggiorazioni.
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