Teorema di Wallace nel caso infinito

[mklplo751]

Salve, continuando ad anticiparmi qualcosa in attesa dell'inizio dei corsi del secondo anno, mi è venuta una curiosità, ovvero se il Teorema di Wallace, valesse anche per prodotti infiniti di spazi compatti.
Giusto, per intenderci, il Teorema di Wallace afferma che:
"Siano $(X, \tau_X)$ e $(Y, \tau_Y)$ spazi topologici e siano $A \subset X$ $B \subset Y$ compatti, allora se $W \subset X xx Y$ è un aperto (nella topologia prodotto) tale che $A xx B \subset W$ , esistono $U \subset X$ e $V subset Y$ aperti tali che $ A \subset U$ e $B \subset V$, tali che $ A xx B \subset U xx V \subset W$.".
Per estendere a un prodotto generico finito, basta il principio di induzione, tuttavia mi chiedevo se valesse ciò:
"Siano $I$ una famiglia di indici e ${X_i}_(i \in I)$ una famiglia di spazi topologici, siano $K_i \subset X_i$ sottospazi compatti e $W \subset prod_(i \in I) X_i$ aperto tale che $prod_(i \in I) K_i \subset W$, allora esistono $A_i \subset X_i$ aperti tali che $ K_i \subset A_i$, tali che $prod_(i \in I) K_i \subset prod_(i \in I) A_i \subset W$" Nel tentativo di dimostrare ciò (che tra l'altro non so neanche se è vero), penso di aver fatto qualche errore grave, tuttavia non riesco a trovarlo e quindi volevo chiedervi se non vi dispiace di controllare, se non vi reca disturbo.
La dimostrazione è questa:

Per ogni sottoinsieme finito $ J \subset I$ denotiamo con $p_J: prod_(i \in I) X_i -> prod_(j \in J) X_j$ la proiezione sulle $J$-coordinate. Per il Teorema di Wallace ho che $\forall J \subset I \forall j \in J \exists A_j\subset X_j: prod_(j \in J) K_j \subset prod_(j \in J) A_j \subset p_J(W)$ con $A_j, W, K_j$ come nell'enunciato e $J$ finito. Allora $\forall J \in I$ si ha $p_J^(-1)( prod_(j \in J) K_j ) \subset p_J^(-1)(prod_(j \in J) A_j )\subset p_J^(-1)(p_J(W))$. Allora $ nn_(J \subset I) p_J^(-1)( prod_(j \in J) K_j ) \subset nn_(J \subset I)p_J^(-1)(prod_(j \in J) A_j )\subset nn_(J \subset I) p_J^(-1)(p_J(W)) $ e quindi noto che $nn_(J \subset I) p_j^(-1)( prod_(j \in J) K_j )= prod_(i \in I) K_i$, $nn_(J \subset I) p_j^(-1)( prod_(j \in J) A_j )= prod_(i \in I) A_i$ e $nn_(J \subset I) p_j^(-1)( p_J(W))= W$.

Ora, ciò che su più cose ho dubbi sono gli ultimi passaggi, ad esempio quelle uguaglianze insiemistiche le ho provate a dimostrare e mi sembrano vere, tuttavia con l'infinito di solito ci sono cose più fini che uno poco esperto non nota e potrei aver sbagliato.

[dissonance]

C'è qualcosa che non va nell'enunciato, devi richiedere che \(W\) contiene il prodotto dei \(K_i\). A parte questo dettaglio mi piacerebbe risponderti ma non saprei che dire. La mia intuizione è che il teorema resti vero nel caso infinito ma la topologia prodotto può essere infida. Come l'hai definita, esattamente?

[mklplo751]

Grazie per aver risposto. Effettivamente ho sbagliato l'enunciato, ora correggo. Comunque la topologia prodotto l'ho definita come la topologia meno fine che rende continue tutte le proiezioni.

[Studente Anonimo]

Ciao mklplo,

"mklplo":$nn_(J \subset I) p_J^(-1)( prod_(j \in J) A_j )= prod_(i \in I) A_i$

Qui c'è un problema perché tu hai trovato gli $A_j$ facendo variare $J$ tra i sottoinsiemi finiti di $I$ ma nessuno ti garantisce che la scelta sia stata fatta in modo compatibile. In altre parole scrivere "$A_j$" ha senso se si sottintende in quale $J$ finito vive $j$, ma solo in questo caso.

In altre parole se $J_1={1,2}$ e $J_2={2,3}$ tu hai scelto $A_1$ e $A_2$ relativi a $J_1$ e $A_2$, $A_3$ relativi a $J_2$ ma questo abuso di notazione, di indicare l'$A_2$ scelto per $J_1$ allo stesso modo in cui indichi l' $A_2$ scelto per $J_2$, ti porta all'errore di pensare che questi due insiemi siano uguali, mentre in generale non lo sono. Non so se mi sono spiegato.

Secondo me è molto meglio se prendi la dimostrazione del caso finito e provi a generalizzarla pari-pari.

[mklplo751]

Grazie per aver risposto...ed effettivamente non avevo notato questo errore (ne ho ancora tantissima di strada da fare). Comunque, tornando alla dimostrazione, onestamente non saprei come farla mimando quella del caso finito, dato che certamente non posso andare a costruire tutti gli aperti uno ad uno e non posso usare il principio di induzione. Ora, provo a vedere se si può correggere quella che ho provato a fare per vedere di evitare quel problema, altrimenti pubblico la dimostrazione del caso finito e da lì, forse qualcuno mi darà indicazioni.

[mklplo751]

Allora, ho provato a pensare a una soluzione, ma comunque non sono riuscito ad andare lontano per un problema abbastanza grande. Lo posto giusto per vedere se c'è un modo per risolvere il problema

Mantenendo le stesse notazioni di prima. Definisco per ogni $ i \in I$ l'insieme $P(i)={J \subset I: i \in J}$ con J parte finita di $I$. Se $J \in P(i)$ allora definisco $A_i^J$ l'aperto che contiene $K_i$ quando usando il Teorema di Wallace nel caso finito scelgo come parte finita $J$ (spero sia abbastanza chiaro quanto detto, dato che non mi veniva come scriverlo in altro modo). Pongo $B_i= nn_(J \in P(i)) A_i^J$ e noto che $K_i \subset B_i$ purtroppo questa intersezione non è finita e dunque non ho garanzie sul fatto che sia aperto. Da qui non posso procedere.

Inoltre riporto anche la dimostrazione del teorema nel caso gli spazi siano 2

Usando le notazioni dell'enunciato del teorema nel caso particolare:
Supponiamo inizialmente che $A={a}$, allora $\forall b \in B$ prendo $U_b$ (intorno di $a$) e $V_b$ (aperto contenente $B$) tali che ${a} xx B \subset U_b xx V_b \subset W$. Noto che i $V_b$ costituiscono un ricoprimento di $B$ e dunque usando la compattezza trovo $b_1,...,b_n$ tali che $V_(b_1),...,V_(b_n)$ costituiscono un ricoprimento finito di $B$. A questo punto chiamo $U_a= nn_(i=1)^n U_(b_i)$ e $V_a= uu_(i=1)^n V_(b_i)$, noto che ${a} xx B \subset U_a xx V_a \subset W$ e $U_a$ è aperto, dato che è un'intersezione finita di aperti.
Ora, supponiamo $A$ un compatto generico come nelle ipotesi, allora $\forall a \in A$ prendo $U_a$ e $V_a$ come costruiti nel punto precendente. A questo punto uso la compatezza di $A$ e quindi trovo $a_1,...,a_m$ tali che $U_(a_1),...,U_(a_m)$ lo ricoprono. Allora pongo $U= uu_(i=1)^m U_(a_i)$ e $V=nn_(i=1)^m V_(a_i)$ allora noto che $A xx B \subset U xx V \subset W$ e che $U$ e $V$ sono aperti.

[dissonance]

Secondo questo signore, il teorema è vero per prodotti arbitrari, quindi la tua idea era giusta (bene!). Ma devi usare da qualche parte l'assioma della scelta; infatti, il teorema di Wallace è addirittura equivalente all'assioma della scelta.

[mklplo751]

Grazie @dissonance per la risposta. Onestamente il fatto che forse servisse Tychonoff o qualcosa di equivalente mi era venuto in mente, ma poi lo scartai dato che nel caso di due spazi si usa la compattezza dei singoli e non dello spazio prodotto, tuttavia considerando che già nella dimostrazione con l'induzione serve il fatto che il prodotto di compatti è compatto, potevo farci un pensierino. Comunque è incredibile quanti risultati siano legati all'Assioma della Scelta: ancora devo iniziare il secondo anno e non smetto di trovare enunciati o equivalenti o che sono implicati dalla Scelta. Ora devo solo capire come usare questo risultato.

[mklplo751]

Ok alla fine, grazie all'informazione di @dissonance ho trovato un riferimento e come diceva @Martino, sostanzialmente ci si rifà a ciò che si fa nel caso finito. Ora, la dimostrazione non è mia, bensì presa dal "General Topology" (Engelking) Teorema 3.2.10 (Teorema di Wallace). Volevo riportarla, sia per completezza (non quella che rende $RR$ santo, come mi capitò di leggere in un topic sul forum), sia per un piccolo dubbio.

Nelle notazioni dell'enunciato. Sia $K= prod_(i \in I) K_i$ e sia $a \in K$, scegliamo un elemento della base canonica della topologia prodotto, tale che contiene $a$ ed è contenuto in $W$. Per il Teorema di Tychonoff, posso trovare un numero finito (chiamiamo $n$ questo numero) di questi aperti che ricoprono $K$ e quindi possiamo scrivere
$ K \subset \prod_(i\in I) U_i^(1) uu...uu\prod_(i\in I) U_i^n \subset W $. Ora, deve esistere un insieme finito $J \subset I$ tale che $U_i=X_i \ \forall i \!in J$ (questo è il punto su cui ho un dubbio: il motivo per cui avviene ciò è perchè un elemento della prebase canonica è del tipo $ \prod U_i$ con $U_i = X_i$ tranne per un indice e dunque, la ogni elemento della base canonica ha al più un numero finito di indici con questa proprietà (essendo intersezione finita di elementi della prebase) e dunque dato che ogni aperto deve contenere uno della base ho questa condizione?). Poniamo allora $W_1= uu_(i=1)^n \prod_(j \in J) U_j^i$ , $W_2= \prod_( j \!in J) X_j$ , $V_1= \prod_ (j \in J) K_j$ e $V_2= \prod_(j \!in J) K_j$. Dunque $ V_1 xx V_2 \subset W_1 xx W_2 \subset W$. A questo punto uso su $V_1$ Wallace nel caso finito e dunque esistono un numero finito di aperti denotati con $A_j$ e presi come nell'enunciato del teorema di Wallace, tali che $V_1 \subset \prod_(j \in J) A_j \subset W_1$, posti allora $A_i= X_i$ $\forall i \!in J$, abbiamo che $prod_(i \in I) A_i$ è l'aperto che stavamo cercando.