Teorema di sylvester
Ciao a tutti...sto preparando l'orale di geometria 2 e mi è stato spiegato il teorema di Sylvester riguardante le basi ortogonali. Mi hanno detto che viene chiesto all'orale anche il teorema di sylvester in 3 dimensioni, o comunque la professoressa ha chiesto che tipo di coniche genera in 3 dimensioni. Qualcuno sa dirmi qualcosa a riguardo perchè sulle mie dispense vine solo enunciato e dimostrato ma non viene detto nulla sulle coniche. Grazie mille.
Risposte
Ho visto il tuo post che non ha ricevuto risposta.
Spero tu abbia già risolto il problema, io ti posto comunque la mia risposta, magari può essere utile a qualcun altro:
Vado a memoria, spero di ricordarmi per bene...(con $CP_2$ indico il piano numerico priettivo complesso)
Ogni conica del piano affine $A_2$ è rappresentata in un dato riferimento $k:CP_2\to A_2$ da una forma bilineare $b:C^3\times C^3\to C^3$. Voglio dire che una conica è l'insieme dei punti $P=k(p)$ con $p\in\CP_2$ tali che
$b(v,v)=0$ dove $v\in R^3$ è tale che $p=\pi(v)$ (dove $\pi$ è la proiezione canonica da $(C^3)\setminus\{0\}$ in $CP_2$)
Il teorema di Sylvester in questo caso applicato a $b$ permette di classificare la conica, in quanto permette di stabilire che esiste una base su $C^3$ in cui la forma bilineare $b$ ha una determinata forma, classificabile completamente in base al rango di $b$ che può essere un numero da $0$ a $3$. Si ottiene così la classificazione proiettiva delle coniche, cioè data una conica esiste un riferimento in cui la conica ha per equazione una delle seguenti:
0. $0=0$ rango $0$ banale!
1. $x^2=0$ rango $1$
2. $x^2+y^2=0$ rango $2$
3. $x^2+y^2+z^2=0$ rango $3$
dove $x,y,z$ sono le coordinate proiettive omogenee.
Ciao!
Spero tu abbia già risolto il problema, io ti posto comunque la mia risposta, magari può essere utile a qualcun altro:
Vado a memoria, spero di ricordarmi per bene...(con $CP_2$ indico il piano numerico priettivo complesso)
Ogni conica del piano affine $A_2$ è rappresentata in un dato riferimento $k:CP_2\to A_2$ da una forma bilineare $b:C^3\times C^3\to C^3$. Voglio dire che una conica è l'insieme dei punti $P=k(p)$ con $p\in\CP_2$ tali che
$b(v,v)=0$ dove $v\in R^3$ è tale che $p=\pi(v)$ (dove $\pi$ è la proiezione canonica da $(C^3)\setminus\{0\}$ in $CP_2$)
Il teorema di Sylvester in questo caso applicato a $b$ permette di classificare la conica, in quanto permette di stabilire che esiste una base su $C^3$ in cui la forma bilineare $b$ ha una determinata forma, classificabile completamente in base al rango di $b$ che può essere un numero da $0$ a $3$. Si ottiene così la classificazione proiettiva delle coniche, cioè data una conica esiste un riferimento in cui la conica ha per equazione una delle seguenti:
0. $0=0$ rango $0$ banale!
1. $x^2=0$ rango $1$
2. $x^2+y^2=0$ rango $2$
3. $x^2+y^2+z^2=0$ rango $3$
dove $x,y,z$ sono le coordinate proiettive omogenee.
Ciao!
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