Teorema di Sylvester

[deneb1]

salve a tutti... arriviamo al punto:
è un problema di natura teorica, il teorema mi è stato spiegato senza il concetto di forma quadratica nè di autovettore ed io non capisco il perchè l'intero p che caratterizza la matice (cioè il numero di 1 presenti nella diagonale) dipenda solo dalla matrice... vi imposto le ipotesi:
b:V x V ---> R
Si vuol dim che se esistono:
R (riferimento di V) t.c. la matrice rappresentativa di b in R è A con segnatura (p, q, n-r)
R' (riferimento di V) t.c. la matrice rappresentativa di b è in R' A con segnatura (p', q', n-r')
allora p=p' (alfa+), q=q'(alfa-), e r=r'.
Che r=r' è banale in quanto r=rango di b.
Ma p?
La dimostrazione continua considerando la somma diretta tra
W=(e1+,.....,ep+) di R
W'=(e'1-,.....,e'q-) di R'
e
Rad (b) = costituito dagli zeri che compaiono nella diagonale
si arriva al punto p+q'+n-r <= n e da qui mi perdo...
Aiuto please, ho visto dimostrazioni su internet in cui non si fa uso del rad(b), che son molto + semplici solo agendo per assurdo... bah... help![/spoiler]

[fu^2]

[mod="fu^2"]Sei invitato a scrivere la tua domanda in modo leggibile. Qui trovi il necessario https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html [/mod]

[deneb1]

ih ih ih... ecco, grazie...
Ripeto che è la seconda parte del teorema che non mi è chiara.
Sia $b: V x V \to RR$ una forma bilineare simmetrica.
Sia R=($e_1$, ... ,$e_p$, $e_1$, ... ,$e_q$, $e_1$, ... , $e_n-r$) riferimento di b;
La matrice rappresentativa di b in R sarà:

$(($\alpha_p$,0,0,),(0,$\alpha_q$,0,),(0,0,$\alpha_n-r$))$

con
$\alpha_p$ i coefficienti positivi della diagonale;
$\alpha_q$ i coefficienti negativi della diagonale;
$\alpha_n-r$ i coefficienti nulli della diagonale;

Ora supponiamo che
$EE$ S=($f_1$, ... ,$f_p'$, $f_1$, ... ,$f_q'$, $f_1$, ... , $f_n-r'$) un altro riferimento di b;

allora dovrà essere:
p=p'
q=q'
r=r'

DIMOSTRAZIONE
Che r=r' è banale, poichè r=r'=rango di b.
Ora consideriamo
W=<$e_1$, ... ,$e_p$> e
W'= <$f_1$, ... ,$f_q'$>
Osserviamo che W $nn$ W' = {0} perchè
$AA$ v $in$ W b(v,v)$>=$0 $=>$ (b(v,v)=0 $iff$ v=0) poichè b(v,v)=$\alpha$ positivi

$AA$ v' $in$ W' b(v',v')$<=$0 $=>$ (b(v',v')=0 $iff$ v=0) poichè b(v,v)=$\alpha$ negativi
dunque un vettore w per appartenere a W eW' dev'essere w=0.
Avremo quindi che W+W' è una somma diretta.

Prendiamo un terzo sottospazio: Rad(b) determnato dagli zeri della diagonale
Avremo che W + W' + Bil(b) è una somma diretta
da ciò avremo che
p + q' + n - r $<=$ n
p + q' + n - r $<=$ p + q + n - r
semplificando si avrà
q' $<=$ q

e scambiando tra loro i riferimenti si giungerà anche a
q' $>=$ q
dunque q=q'

Ma per p???? A noi non interessava p, indice delle componenti positive della diagonale?
Spero di aver chiarito...

[deneb1]

mi sa che nn s'è chiarito n cavolo
cerco n'altra soluzione

[vict85]

È la prima volta che mi capita di veder usare i simboli delle formule così male... Il simbolo di dollaro deve essere usato come lo useresti in latex (e in effetti puoi usare anche latex).

Ecco come dovevi usarli:

"deneb":ih ih ih... ecco, grazie...
Ripeto che è la seconda parte del teorema che non mi è chiara.
Sia $b: V x V \to RR$ una forma bilineare simmetrica.
Sia $R=(e_1, ... ,e_p, e_1, ... ,e_q, e_1, ... , e_n-r)$ riferimento di $b$;
La matrice rappresentativa di $b$ in $R$ sarà:

$((\alpha_p,0,0),(0,\alpha_q,0),(0,0,\alpha_n-r))$

con
$\alpha_p$ i coefficienti positivi della diagonale;
$\alpha_q$ i coefficienti negativi della diagonale;
$\alpha_n-r$ i coefficienti nulli della diagonale;

Ora supponiamo che
$EE S=(f_1, ... ,f_p', f_1, ... ,f_q', f_1, ... , f_n-r')$ un altro riferimento di $b$;

allora dovrà essere:
$p=p'$
$q=q'$
$r=r'$

DIMOSTRAZIONE
Che $r=r'$ è banale, poiché $r=r'=$rango di $b$.
Ora consideriamo
$W=$ e
$W'= $
Osserviamo che $W nn W' = \{0\}$ perché
$AA v in W b(v,v)>= 0 => (b(v,v)=0 iff v=0)$ poiché $b(v,v)=\alpha$ positivi

$AA v' in W' b(v',v') <= 0 => (b(v',v')=0 iff v=0)$ poiché $b(v,v)=\alpha$ negativi
dunque un vettore $w$ per appartenere a $W$ e $W'$ dev'essere $w=0$.
Avremo quindi che $W+W'$ è una somma diretta.

Prendiamo un terzo sottospazio: $Rad(b)$ determinato dagli zeri della diagonale
Avremo che $W + W' + Bil(b)$ è una somma diretta
da ciò avremo che
$p + q' + n - r <= n$
$p + q' + n - r <= p + q + n - r$
semplificando si avrà
$q' <= q$

e scambiando tra loro i riferimenti si giungerà anche a
$q' >= q$
dunque $q=q'$

Ma per $p$???? A noi non interessava $p$, indice delle componenti positive della diagonale?
Spero di aver chiarito...

[Gatto891]

"deneb":mi sa che nn s'è chiarito n cavolo
cerco n'altra soluzione

Per il futuro...

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[deneb1]

Mi spiace ma non conosco latex, in più, come potete notare, è la prima volta che ho a che fare con codici di rappresentazione di formule matematiche.
Nulla importa, la prossima volta farò prima ad andare a ricevimento...
Grazie di tutti i buoni consigli.
(spero di non aver fatto nessun errore d'ortografia almeno in questo commento)

[Paolosbam]

Scusate mi potreste spiegare la dimostrazione che ha postato quest ragazzo qua sopra?
Grazie