Teorema di rouchè-capelli
Ho problemi sulla dimostrazione di questo teorema dato che in rete trovo molte dimostrazioni diverse.
Ho capito molto bene l' enunciato ovvero che bisogna confrontare il rango delle matrici completa ed incompleta del sistema lineare. Se i ranghi sono uguali allora il sistema è compatibili ovvero ammete delle soluzioni che può essere unica o può avere infinite soluzioni.
il mio professore ha dimostrato questo teormea per assurdo arrivando alla conclusione che il vettore dei termini noti è combinazione lineare delle colonne della matrice dei coefficienti.
ma non so proprio come è arrivato a questo.
Mi potreste aiutare con la dimostrazione grazie
Ho capito molto bene l' enunciato ovvero che bisogna confrontare il rango delle matrici completa ed incompleta del sistema lineare. Se i ranghi sono uguali allora il sistema è compatibili ovvero ammete delle soluzioni che può essere unica o può avere infinite soluzioni.
il mio professore ha dimostrato questo teormea per assurdo arrivando alla conclusione che il vettore dei termini noti è combinazione lineare delle colonne della matrice dei coefficienti.
ma non so proprio come è arrivato a questo.
Mi potreste aiutare con la dimostrazione grazie
Risposte
"lepre561":
il vettore dei termini noti è combinazione lineare delle colonne della matrice dei coefficienti.
Se così non fosse, allora avresti che $r(A)
"lepre561":
ma non so proprio come è arrivato a questo.
Mi potreste aiutare con la dimostrazione grazie
Dovresti postare la dimostrazione e mettere in evidenza la parte che non ti torna!
"Magma":
[quote="lepre561"]
il vettore dei termini noti è combinazione lineare delle colonne della matrice dei coefficienti.
Se così non fosse, allora avresti che $r(A)
"lepre561":
ma non so proprio come è arrivato a questo.
Mi potreste aiutare con la dimostrazione grazie
Dovresti postare la dimostrazione e mettere in evidenza la parte che non ti torna!
[/quote]più che altro il mio problema è la definizione di sistema combatibile
Un sistema è compatibile se smette almeno una soluzione.
Se lo rappresenti in forma matriciale con $A inM_(n,m)(K)$ allora il sistema $Ax=b$ è compatibile se esiste $x_0 inK^m$ tale che $Ax_0=b$
quindi si riduce nel dimostrare che:
$r(A)=r(A|b)$ sse $exists x_0 inK^m:Ax_0=b$
Se lo rappresenti in forma matriciale con $A inM_(n,m)(K)$ allora il sistema $Ax=b$ è compatibile se esiste $x_0 inK^m$ tale che $Ax_0=b$
quindi si riduce nel dimostrare che:
$r(A)=r(A|b)$ sse $exists x_0 inK^m:Ax_0=b$
Provo a dire terra terra il ragionamento con cui io so dimostrarlo.
Tu tieni una certa matrice che rappresenta un sistema.Noi sappiamo che il rango indica il numero di vettori linearmente indipendenti.Ora, se la colonna dei termini noti aumenta il rango, vuol dire che non è linearmente dipendente dai vettori precedenti, quindi non può essere che ci sia soluzione.In pratica se tu hai un sistema
$ { ( a_11x_1 ... a_(1n)x_n = b_1 ),( a_21x_1 ... a_(2n)x_n = b_2 ),( ... ),( a_(m1)x_1 ... a_(mn)x_n = b_m ):} $
Allora puoi riscrivere tutto mettendo i coefficienti in una matrice e moltiplicandola per il vettore incognita.Ora, se tu aggiungi quella colonna alla matrice e ha rango maggiore, vuol dire che non c'è nessun "vettore incognita" che permetta di ottenere il "vettore risultato" $b$.
Questa è l'idea di fondo che in genere io seguo
Tu tieni una certa matrice che rappresenta un sistema.Noi sappiamo che il rango indica il numero di vettori linearmente indipendenti.Ora, se la colonna dei termini noti aumenta il rango, vuol dire che non è linearmente dipendente dai vettori precedenti, quindi non può essere che ci sia soluzione.In pratica se tu hai un sistema
$ { ( a_11x_1 ... a_(1n)x_n = b_1 ),( a_21x_1 ... a_(2n)x_n = b_2 ),( ... ),( a_(m1)x_1 ... a_(mn)x_n = b_m ):} $
Allora puoi riscrivere tutto mettendo i coefficienti in una matrice e moltiplicandola per il vettore incognita.Ora, se tu aggiungi quella colonna alla matrice e ha rango maggiore, vuol dire che non c'è nessun "vettore incognita" che permetta di ottenere il "vettore risultato" $b$.
Questa è l'idea di fondo che in genere io seguo
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