Teorema di reciprocità - Coniche

[raissa95]

Ciao ragazzi, ho capito l'enunciato del teorema ma nulla della dimostrazione che vi allego.
Purtroppo con le sommatorie non vado per niente d'accordo, non le ho mai capite bene ma comunque qui non spiega come fa i passaggi o come manipola le sommatorie. Sareste così gentili da spiegarmi ogni passaggio? Non so davvero come fare! Grazie mille

[j18eos]

Quale sarebbe il problema... In una somma finita ha senso scambiare l'ordine di sommazione rispetto agli indici!

[raissa95]

Ma perchè tutto quello scambio di indici porta alla dimostrazione del teorema? Io non ho proprio capito la dimostrazione

[j18eos]

Saresti in grado di scriverla in forma matriciale?

[raissa95]

So scrivere una conica in forma matriciale ma poi?

[j18eos]

Nel piano proiettivo (reale o complesso, per semplicità) \(\displaystyle\mathbb{P}^2\) si fissino un riferimento proiettivo \(\displaystyle\mathscr{R}\) e una conica non degenere \(\displaystyle\Gamma\).

In coordinate rispetto ad \(\displaystyle\mathscr{R}\)[nota]Lo sottointenderò d'ora innanzi![/nota]; sia \(\displaystyle M\) la matrice [hessiana] di \(\displaystyle\Gamma\); considerato un punto \(\displaystyle P\in\mathbb{P}^2\), la retta polare \(\displaystyle r_P^{\Gamma}\equiv r\) di \(\displaystyle P\) rispetto a \(\displaystyle\Gamma\) ha equazione:
\[
r\equiv (P)^T\times M\times (x^0,x^1,x^2)=0.
\]
Prova a ragionare così nel tuo esercizio!