Teorema di invertibilità di una matrice

[nicola.guidone]

salve ragazzi, per il mio esame di matematica dovrei dimostrare il teorema dell'invertibilità di una matrice, ovvero che una matrice è invertibile se e solo se detA diverso da 0.
Nel caso dove so che A è invertibile e devo far vedere che il detA diverso da 0 tutto OK
Il problema sorge quando devo dimostrare il contrario, nella dimostrazione usata della prof compariva il delta di kronecher con vicino il detA e non so il perche potete aiutarmi?

[sonicfal]

Una dimostrazione comune di( $\det(A) \ne 0) \Rightarrow( A$ è invertibile) fa uso del fatto che $\det(A) \ne 0 \iff rgA =n$ con $n$ la dimensione di $A$.
Se $rgA=n$ allora per esempio lo spazio delle righe $span{A^{(1)},...,A^{(n)}}$ ha dimensione $n$, ossia le righe di $A$ costituiscono una base di $\mathbb{R}^n$. Ma allora se prendo $(e^i)_{i=1..n}$ la base canonica ognuno dei vettori della base canonica si scriverà come combinazione lineare opportuna delle righe di $A$. Ossia
Per ogni $i=1,..,n$ esistono $b_1^i,...,b_n^i \in mathbb{R}$ tali che $b_j^i*A^{(j)} = e^i$ (qua si sottintende la notazione di Einstein).
Ma allora andando a confrontare componente per componente si ha che per ogni $i,k=1,..n$

$b_j^i*a_k^j = \delta_k^i$

Ossia considerata la matrice $B=(b_j^i)$ si è costruita esplicitamente una inversa sinistra di $A$ (la relazione sopra infatti implica che $B\cdotA= I$).
In maniera del tutto analoga, considerando lo spazio delle colonne si costruisce una matrice $C$ inversa destra di $A$. Ma allora per l'unicità dell'inversa segue che $B=C=A^-1$ (ossia si è costruita esplicitamente l'inversa di $A$ che risulta pertanto invertibile).