Teorema di Cramer

[zio_mangrovia]

Sia $u_1,...,u_n$ una base dello spazio vettoriale X tale che $A(u_i)=\lambda_iu_i$ e $M=(u_1,...,u_n)$ la matrice le cui colonne sono gli autovetture della base.
Tale matrice è invertibile per il teorema di Cramer poiché le colonne sono n vettori indipendenti e dunque l'applicazione è iniettiva ed è suriettiva perché le colonne sono una base.

Non capisco da cosa si evince che l'applicazione è iniettiva e suriettiva.

[killing_buddha]

Dal fatto che è invertibile.

[zio_mangrovia]

"killing_buddha":Dal fatto che è invertibile.

Se non ricordo male il teorema di Cramer sostiene che un'applicazione $A:X->Y$ dove $dimX=dimY$ è iniettiva solo se è suriettiva, ha qualche relazione con quello che stiamo sostenendo. La mia difficoltà è capire cosa c'entra Cramer con la biettività

[killing_buddha]

Non ho mai sentito chiamare questo risultato teorema di Cramer, ma sì, una applicazione lineare tra spazi finiti della stessa dimensione è iniettiva se e solo se è biiettiva. Forse non intendi dire Cramer ma Grassmann? (\(\dim \ker f + \dim \text{im } f = \dim X\), da ciò se $f$ è iniettiva ha anche immagine tutto)

[zio_mangrovia]

"killing_buddha":Non ho mai sentito chiamare questo risultato teorema di Cramer, ma sì, una applicazione lineare tra spazi finiti della stessa dimensione è iniettiva se e solo se è biiettiva. Forse non intendi dire Cramer ma Grassmann? (\(\dim \ker f + \dim \text{im } f = \dim X\), da ciò se $f$ è iniettiva ha anche immagine tutto)

Non intendo Grassman negli appunti c'e' scritto così:
tale matrice è invertibile per il teorema di Cramer, perché le colonne sono n vettori indipendenti e dunque l'applicazione associata è iniettiva ed è suriettiva perché le colonne sono una base.

[Magma1]

"zio_mangrovia":[...] un'applicazione $ A:X->Y $ dove $ dimX=dimY $ è iniettiva solo se è suriettiva, ha qualche relazione con quello che stiamo sostenendo.

Assolutamente sì!

Def. Isomorfismo

$V,W$ spazi vettoriali. Sia $f: V-> W$ una funzione.
$f$ si dice isomorfismo se

$1)$ $f$ è lineare
$2)$ $f$ è bigettiva

Inoltre

Siano $V, W$ due spazi finitamente generati. Le seguenti condizioni sono equivalenti

$1)$ $V,W$ sono isomorfi.
$2)$ $dim(V)=dim(W)$

Si dimostra che $V$ di dimensione $n$ e $RR^n$ sono isomorfi

[ot]se $mathcal (A)={v_1,..., v_n}$ base di $V$
se $mathcal (B)={w_1,..,w_n]$ base di $W$

per il teorema di estensione esiste un'unica funzione lineare $f: V->RR^n$ tale che

$f(v_1)=w_1, ... , f(v_n)=w_n$

Supponiamo che $mathcal(B)=mathcal (E)$ sia la base canonica di $RR^n$, quindi

$f(v_1)=e_1,.. f(v_n)=e_n$

Il generico vettore $v$ è C.L. dei vettori di $mathcal(A)$ se $v in V$:

$v=alpha_1v_1+...+alpha_nv_n$

applicando $f$

$f(v)=(alpha_1v_1)+...+(alpha_nv_n)=alpha_1(v_1)+...+alpha_n(v_n)=alpha_1e_1+...+alpha_n e_n=((alpha_1),(vdots ),(alpha_n))=[v]_A$[nota]$[v]_A$ è la n-upla delle componenti di $v$ rispetto la base $mathcal(A)$[/nota]

quindi, fissata una base $mathcal(A)$ di $V$, $dim(V)=n$, un isomorfismo $f:V->RR^n$ è quello definito ponendo

$f(v)=[v]_A$

[/ot]

Ora, posto $V=M_n(RR)$, si ha che le matrici $nxxn$ sono isomorfe a $RR^(n n)$

[ot]ad esempio
Sia $mathcal(A)=(E_1, E_2,E_3, E_4)$ la base canonica delle matrici $2xx2$

$M_2(RR)$ è isomorfo a $RR^4$ si ha che

$f: M_2(RR)->RR^4$ è definita ponendo

$f(( ( a , b ),( c , d ) ) )=[( ( a , b ),( c , d ) ) ]_A=((a),(b),(c),(d))$

[/ot]


Ora abbiamo tutti gli ingredienti per capire che se una matrice $M$ $nxxn$ ha per colonna i vettori di una base, siccome la stessa matrice può esser vista come un isomorfismo che prende i componenti della matrice stessa e li manda in $RR^(n n)$ e per definizione di isomorfismo tale funzione è bigettiva, dunque invertibile, allora anche la matrice $M$ è invertibile.

Tutto questo fa capire anche la relazione tra una funzione e una sua matrice rappresentativa!

P.S. il calcolo del determinante tramite la regola di Cramer non l'ho mai usato in quanto troppo computazionale e non trovo nulla riguardo questo teorema che citi (lo potresti postare per curiosità?
Comunque credo si riferisca al fatto che una matrice $M$, avente in colonna i vettori di una base, ha $det(M) ne 0$, quindi $M$ è invertibile.

[zio_mangrovia]

Nei miei appunti trovo questi enunciati riguardo il teorema di Cramer:

(Per sistemi lineari quadrati)
$\sum_{i=1}^n x_iA_i=B$ per $A_i...A_n,BinRR^n$
Condizione necessarie e sufficiente: affinché un sistema quadrato abbia soluzione unica $AABinRR^n$ è che il sistema omogeneo associato $\sum_{i=1}^n x_iA_i=0$ abbia soluzione unica nulla, cioè le colonne sono indipendenti.

Altro enunciato teorema di Cramer:
sia $A:X->Y$ lineare, con $X$ e $Y$ spazi vettoriali di uguale dimensione finita. Allora A è iniettiva se e solo se è suriettiva

Se volete vi scrivo anche la dimostrazione.

[Magma1]

"zio_mangrovia":Altro enunciato teorema di Cramer:
sia $A:X->Y$ lineare, con $X$ e $Y$ spazi vettoriali di uguale dimensione finita.
Allora A è iniettiva se e solo se è suriettiva.

Non sapevo fosse attribuito a Cramer

P.S. per il resto hai capito perché la tua matrice è invertibile?

[dissonance]

"zio_mangrovia":la matrice le cui colonne sono gli autovetture

Il completamento automatico non è evidentemente stato scritto da matematici.

[zio_mangrovia]

Eh si questo autocompletamento a volte è una seccatura soprattutto se ti distrai!
Devo leggere con calma la tua spiegazione a dir poco completissima

[Magma1]

Per concludere aggiungo due osservazioni

Sia $A$ $nxxn$. Le seguenti condizioni sono equivalenti

$1)$ $A$ è invertibile
$2)$ $r(A)=n$
$3)$ $det(A)ne0$

$f:V->W$ lineare $dim(V)<+oo$. Le seguenti condizioni sono equivalenti

$1)$ $f$ è un isomorfismo

$2)$ $M_(AB)(f)$ è invertibile $AA mathcal(A,B)$ basi di $V,W$ rispettivamente

Per cui

$f$ isomorfismo $hArr dim(V)=dim(W)=dim(Im(f))=r(M_(AB)(f))=n$

$ hArr det(M_(AB)(f))ne0$

$ hArr M_(AB)(f)$ è invertibile

Qundi la verifica dell'isomorfismo di una funzione lineare può essere rimandata al calolo del rango/determinante della matrice associata o rappresentativa; o viceversa.