Teorema della proiezione

[Nickbru1]

Ho bisogno di aiuto per capire la dimostrazione del teorema della proiezione. Sul libro di testo (e su wikipedia) il teorema è inteso solo come la parte d dell'enunciato che ci ha proposto la prof, e su quella non ho problemi. Per le altre 3 dimostrazioni invece si. La versione del teorema proposto dalla prof è la seguente.

sia $ H \sub V^n $ sottospazio, $\bar{v} in V^n$. Allora:
a) $\bar{v}$ si scrive in modo unico come $\bar{v}=\bar{v}_H+\bar{v}_{H^{_|_ }}$ con $\bar{v}_H in H$ e $\bar{v}_{H^{_|_ }} in H^{_|_ }$

b) se $B={\bar{b}_1,..., \bar{b}_k}$ base ortonormale per H, allora $\bar{v}_H=(\bar{v} \cdot \bar{b}_1)\bar{b}_1+...+(\bar{v} \cdot \bar{b}_k)\bar{b}_k$

c) dim$V$=dim$H$+dim$H^{_|_ }$ =n

d)$||\bar{v}-\bar{v}_H||=min||\bar{v}-\bar{w}||$ con $\bar{w} in H$


Per la dimostrazione (tralasciando il punto d), ho capito il punto a mentre sto scrivendo il topic (punto in più per il forum che mi aiuta a studiare anche senza risposte), invece per i punti b e c:

b) Poiché $\bar{v}-\bar{v}_H in H^{_|_ }$, abbiamo
$(\bar{v}-\bar{v}_H)\bar{b}_i=0 \Rightarrow \bar{v} \cdot \bar{b}_i-\bar{v}_H \cdot \bar{b}_i=0 \Rightarrow \bar{v} \cdot \bar{b}_i=\bar{v}_H \cdot \bar{b}_i=(\lambda_1 \bar{b}_1+...+\lambda_k \bar{b}_k)\bar{b}_i$ (dato che $\bar{v}_H in H$ che ha base B) $=\lambda_i ||\bar{b_i}||^2=\lambda_i$ (poiché tutti gli altri prodotti scalari si annullano in quanto B ortonormale) $\Rightarrow \bar{v}\cdot\bar{b}_i=\lambda_i$.

qua ho capito perfettamente il percorso della dimostrazione, ma non ho capito perchè questo risultato dovrebbe essere una dimostrazione della tesi. Si intende che ogni prodotto scalare della tesi è proprio il coefficiente del vettore di B associato?

c) Partendo da B base per H di k elementi la posso completare con n-k elementi ad una base C di V ortogonale. Quindi gli n-k vettori aggiunti, essendo ortogonali ai precedenti, formano una base per H$_|_$.

Questa invece proprio non l'ho capita.

[otta96]

"Nickbru":qua ho capito perfettamente il percorso della dimostrazione, ma non ho capito perchè questo risultato dovrebbe essere una dimostrazione della tesi. Si intende che ogni prodotto scalare della tesi è proprio il coefficiente del vettore di B associato?

Si, anche se non l'hai scritto è sicuramente sottinteso che $v_H=\lambda_1b_1+...+\lambda_kb_k$, e quindi la dimostrazione ti fa vedere che questi coefficienti sono $v\cdot b_i$.

c) Partendo da B base per H di k elementi la posso completare con n-k elementi ad una base C di V ortogonale. Quindi gli n-k vettori aggiunti, essendo ortogonali ai precedenti, formano una base per H$_|_$.

Questa invece proprio non l'ho capita.

Sinceramente da questa dimostrazione non si capisce niente, è fatta male a mio avviso. Io direi che ad una base $B$ di $H$, puoi aggiungere una base $C$ di $H^(\bot)$ e controllare che questo insieme sia linearmente indipendente e generi lo spazio $V^n$ (fallo eh! ), allora hai che $dimH=|BuuC|=|B|+|C|=dimH+dimH^(\bot)$.

[Nickbru1]

Grazie mille.

"otta96":Io direi che ad una base $B$ di $H$, puoi aggiungere una base $C$ di $H^(\bot)$ e controllare che questo insieme sia linearmente indipendente e generi lo spazio $V^n$ (fallo eh! ).

Io direi che posso ortonormalizzare la base B di $V^n$, e preso un $b_i in B AA i$ allora o appartiene ad H o, dal fatto che i versori della base sono ortogonali tra loro, e ogni vettore ortogonale a tutti i vettori di $H $ appartiene ad $H^(\bot)$ per definizione, appartiene ad $H^{\bot}$. Ha senso?

Per la parte dell'indipendenza lineare invece dovrei esserci

[otta96]

"Nickbru":Ha senso?

Mica tanto

[vict85]

Secondo me, per (c), non è necessario usare basi e elementi. Per lo meno se si può usare il seguente fatto: \(\dim(A + B) = \dim(A) + \dim(B) - \dim(A \cap B)\).

Insomma, da (a), non solo sai che \(\dim(H + H^{\perp}) = V\) ma anche che esistono unici \(\mathbf{v}_H\in H\) e \(\mathbf{v}_{H^{\perp}}\in H^{\perp}\) tali che \(\mathbf{v}_{H} - \mathbf{v}_{H^{\perp}} = \mathbf{0}\). Siccome banalmente \(\mathbf{0} - \mathbf{0} = \mathbf{0}\), si deve avere \(\mathbf{v}_H = \mathbf{0}\), \(\mathbf{v}_{H^{\perp}}= \mathbf{0}\) e \(\dim(H \cap H^{\perp}) = \{\mathbf{0}\}\).

[Nickbru1]

Ti ringrazio della risposta. Effettivamente così è più chiaro e anche più facile.