Teorema del rango. Perchè non mi risulta?

[rettile56]

Buongiorno a tutti, ho un problema nell'accettare il teorema del Rango.
La premessa è che non ho capito alcuni pezzi della dimostrazione e quei pezzi che ho capito non aiutano a risolvere i miei dubbi.

Il teorema dice che:
Sia f un omomorfismo f : E -> F
dim(ker(f))+dim(Im(f))=dim(E)

La cosa non mi risulta vera per questa ragione:
prendiamo un omomorfismo come x (che tralaltro è un ISOmorfismo, nonchè applicazione d'identità). Ci piace di definirla su E={0,1,2,3} da cui ricaviamo che dim(E)=4.
L'insieme delle immagini è formata da 4 elementi {f(0),f(1),f(2),f(3)} e il ker è formato solo dallo 0 (infatti f(0)=0).
Quindi dim(ker)+dim(Im) = 1+4 mentre doveva venirci 4. Ergo qualcosa non va.

Ora,
o non ci ho capito niente (diniente)^n [ipotesi più accreditata] ed è tutto sbagliato
o per qualche illogica ragione nelle immagini non bisogna contare lo 0. Se così fosse, potreste spiegarmene il motivo dal momento che io avevo capito che Imf=(y | f(x)=y) senza troppe limitazioni.

grazie.

[Sk_Anonymous]

La dimensione è definita dal numero massimo di vettori linearmente indipendenti che generano uno spazio vettoriale. Se si considera una base di $Im(F)$ con $F$ applicazione identità si ha che tale base è $B={F(1),F(2),F(3)}$, quindi $dim(Im(F))=3$.
Considerare anche $F(0)$ è errato in quanto $F(0)=0$ e $0$ è linearmente dipendente in quanto nullo.