Teorema del punto fisso di Brouwer
La dimostrazione del teorema del punto fisso di Brouwer (una funzione continua dal disco chiuso di R2 in sè ha un punto fisso) ci è stata fatta così:
Per assurdo supponiamo f(x,y) diverso da (x,y) per ogni (x,y) del disco. Allora tracciamo la semiretta (unica!) uscente da f(x,y) e passante per (x,y) e chiamiamo F(x,y) la sua intersezione con la circonferenza. E poi la dimostrazione procede dando per scontato che F è continua.
Come posso fare per dimostare che F è continua?
Ho provato a ricavarmi la sua espressione analitica, mettendo a sistema la semiretta (scritta in forma parametrica come (X,Y)= f(x,y) + t ((x,y)-f(x,y)) con t>=0) e la criconferenza (X^2+Y^2=1) e cercando di ricavare t. Ma viene fuori un'equazione di secondo grado non proprio bella... e poi una volta risolta (dal computer) non so dire quale delle due soluzioni è quella positiva (t dev'essere positivo perché sto parlando di una semiretta e non di una retta intera).
C'è un altro modo per scriversi esplicitamente F(x,y)? O per lo meno per dimostare che è continua?
Grazie a tutti!
Per assurdo supponiamo f(x,y) diverso da (x,y) per ogni (x,y) del disco. Allora tracciamo la semiretta (unica!) uscente da f(x,y) e passante per (x,y) e chiamiamo F(x,y) la sua intersezione con la circonferenza. E poi la dimostrazione procede dando per scontato che F è continua.
Come posso fare per dimostare che F è continua?
Ho provato a ricavarmi la sua espressione analitica, mettendo a sistema la semiretta (scritta in forma parametrica come (X,Y)= f(x,y) + t ((x,y)-f(x,y)) con t>=0) e la criconferenza (X^2+Y^2=1) e cercando di ricavare t. Ma viene fuori un'equazione di secondo grado non proprio bella... e poi una volta risolta (dal computer) non so dire quale delle due soluzioni è quella positiva (t dev'essere positivo perché sto parlando di una semiretta e non di una retta intera).
C'è un altro modo per scriversi esplicitamente F(x,y)? O per lo meno per dimostare che è continua?
Grazie a tutti!
Risposte
Secondo me la strada che hai seguito tu va bene.
E forse ti manca solo un po' di ottimismo, come dice il nostro "papi" Silvio.
Prova a postare qui quello che trovi (equazione e soluzioni), che magari trovi un viandante disposto ad appoggiare il suo lume vicino al tuo post, acciocché si illumini vieppiù.
[size=75]E, riguardo a Brouwer, vedo che nel titolo lo spelling è ok, ma non nel testo, a conferma di quanto affermavo qui: https://www.matematicamente.it/forum/fil ... html#87469
https://www.matematicamente.it/forum/teo ... tml#158262
PS: visto che hai corretto brower nel testo, mi è sembrato carino fare un passo in più e mettere l'iniziale maiuscola, visto che è un nome proprio.[/size]
E forse ti manca solo un po' di ottimismo, come dice il nostro "papi" Silvio.
Prova a postare qui quello che trovi (equazione e soluzioni), che magari trovi un viandante disposto ad appoggiare il suo lume vicino al tuo post, acciocché si illumini vieppiù.
[size=75]E, riguardo a Brouwer, vedo che nel titolo lo spelling è ok, ma non nel testo, a conferma di quanto affermavo qui: https://www.matematicamente.it/forum/fil ... html#87469
https://www.matematicamente.it/forum/teo ... tml#158262
PS: visto che hai corretto brower nel testo, mi è sembrato carino fare un passo in più e mettere l'iniziale maiuscola, visto che è un nome proprio.[/size]
Quando (x,y) tende a (x°,y°), f(x,y) tende a f(x°,y°) (f continua), allora la semiretta s uscente da f(x,y) e passante per (x,y) tende punto per punto alla semiretta s° uscente da f(x°,y°) e passante per (x°,y°) (si verifica subito scrivendo l'equazione della semiretta).
Posso concludere che l'intersezione tra la semiretta s e la circonferenza tende all'intersezione tra la semiretta s° e la circonferenza (cioè F(x,y) tende a F(x°,y°)), anche senza scrivere esplicitamente l'espressione analitica della F?
Anche perché se invece della circonferenza avessi a che fare con un'altra curva chiusa, magari con un'espressione di grado più alto o non polinomiale, non riuscirei certo a scrivere esplicitamente la F, però affermerei comunque che F è continua.
So che il mio ragionamento è di tipo intuitivo, ma non si potrebbe formalizzare, utilizzando magari il fatto che la circonferenza è una curva chiusa?
Posso concludere che l'intersezione tra la semiretta s e la circonferenza tende all'intersezione tra la semiretta s° e la circonferenza (cioè F(x,y) tende a F(x°,y°)), anche senza scrivere esplicitamente l'espressione analitica della F?
Anche perché se invece della circonferenza avessi a che fare con un'altra curva chiusa, magari con un'espressione di grado più alto o non polinomiale, non riuscirei certo a scrivere esplicitamente la F, però affermerei comunque che F è continua.
So che il mio ragionamento è di tipo intuitivo, ma non si potrebbe formalizzare, utilizzando magari il fatto che la circonferenza è una curva chiusa?
"qwertyuio":Ma infatti, il punto è trovare una giustificazione di queste affermazioni. Dalla formuletta immagino le avresti.
Posso concludere che l'intersezione tra la semiretta s e la circonferenza tende all'intersezione tra la semiretta s° e la circonferenza (cioè F(x,y) tende a F(x°,y°)), anche senza scrivere esplicitamente l'espressione analitica della F?
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So che il mio ragionamento è di tipo intuitivo, ma non si potrebbe formalizzare, utilizzando magari il fatto che la circonferenza è una curva chiusa?
Qui mi pare che non trovi di meglio che affidarti all'intuizione (ma il teorema di Brouwer non è intuitivo?).
Secondo me con considerazioni abbastanza standard si dovrebbe arrivare a dove vuoi tu. E' che sostanzialmente serve una stima su quanto varia l'intersezione al variare dei parametri del problema.
Ok, allora posto quello che ho fatto.
Il sistema in X,Y che vado a considerare è:
${(X=f_1+t(x-f_1)),(Y=f_2+t(y-f_2)),(t>=0),(X^2+Y^2=1),(x^2+y^2<=1),(f_1^2+f_2^2<=1):}$
dove (f_1,f_2):=f(x,y)
Le prime 3 equazioni indicano che (X,Y) sta sulla semiretta uscente da f(x,y) e passante per (x,y).
La quarta che (X,Y) sta sulla circonferenza.
Le ultime 2 che (x,y) e f(x,y) stanno nel disco (non so se queste due condizioni sono utili, può darsi di no).
Sostituendo la 1 e la 2 nella 4 ottengo un'equazione di secondo grado nella t. Mathematica mi dice che le due soluzioni sono:
$(f_1^2 + f_2^2 - f_1*x - f_2*y - \sqrt(f_1^2 + f_2^2 - 2*f_1*x + x^2 - f_2^2*x^2 - 2 f_2*y + 2*f_1*f_2*x*y + y^2 - f_1^2+y^2)) / (f_1^2 + f_2^2 - 2*f_1*x + x^2 - 2*f_2*y + y^2)$
(l'altra ha il + invece del - prima della radice)
Ora dovrei:
1)capire perché il numero sotto radice è >=0
2)trovare quale delle due soluzioni è positiva (magari varia al variare di (x,y) e f(x,y)). Poi la andrò a sostituire nella 1 e nella 2 scoprendo finalmente chi è F(x,y)
Il sistema in X,Y che vado a considerare è:
${(X=f_1+t(x-f_1)),(Y=f_2+t(y-f_2)),(t>=0),(X^2+Y^2=1),(x^2+y^2<=1),(f_1^2+f_2^2<=1):}$
dove (f_1,f_2):=f(x,y)
Le prime 3 equazioni indicano che (X,Y) sta sulla semiretta uscente da f(x,y) e passante per (x,y).
La quarta che (X,Y) sta sulla circonferenza.
Le ultime 2 che (x,y) e f(x,y) stanno nel disco (non so se queste due condizioni sono utili, può darsi di no).
Sostituendo la 1 e la 2 nella 4 ottengo un'equazione di secondo grado nella t. Mathematica mi dice che le due soluzioni sono:
$(f_1^2 + f_2^2 - f_1*x - f_2*y - \sqrt(f_1^2 + f_2^2 - 2*f_1*x + x^2 - f_2^2*x^2 - 2 f_2*y + 2*f_1*f_2*x*y + y^2 - f_1^2+y^2)) / (f_1^2 + f_2^2 - 2*f_1*x + x^2 - 2*f_2*y + y^2)$
(l'altra ha il + invece del - prima della radice)
Ora dovrei:
1)capire perché il numero sotto radice è >=0
2)trovare quale delle due soluzioni è positiva (magari varia al variare di (x,y) e f(x,y)). Poi la andrò a sostituire nella 1 e nella 2 scoprendo finalmente chi è F(x,y)
"qwertyuio":
Ora dovrei:
1)capire perché il numero sotto radice è >=0
2)trovare quale delle due soluzioni è positiva (magari varia al variare di (x,y) e f(x,y)). Poi la andrò a sostituire nella 1 e nella 2 scoprendo finalmente chi è F(x,y)
Fossi al tuo posto, cercherei risposta alle due domande traendo ispirazione dalla considerazione di alcuni casi particolari. Particolari per la posizione dei punti, ad esempio. O per i valori dei parametri.
Mi farei magari anche due disegnini, sempre in riferimento a casi particolari.
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