Teorema del completamento di una base
Ciao!
ho provato a fare la dimostrazione del teorema del completamento di una base che è stata lasciata per esercizio dal docente.
era richiesto il non utilizzo del teorema dello scambio nè della relazione di grassman.
io l'ho fatta in questo modo:
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n. e sia X un sottoinsieme di V linearmente indipendente.
se X non genera V => esiste v1 appartenente a V tale che v1 non appartiene a L(X) => (XU{v1}) è linearmente indipendente.
se XU{v1} non genera V => esiste v2 appartenente a V tale che v2 non appartiene a L(X)U{v1} => (XU{v1}U{v2}) è linearmente indipendente.
e così via fino ad ottenere un insieme XU{v1}U{v2}U....U{vk} che generi V.
Può reggere come dimostrazione?
ho provato a fare la dimostrazione del teorema del completamento di una base che è stata lasciata per esercizio dal docente.
era richiesto il non utilizzo del teorema dello scambio nè della relazione di grassman.
io l'ho fatta in questo modo:
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n. e sia X un sottoinsieme di V linearmente indipendente.
se X non genera V => esiste v1 appartenente a V tale che v1 non appartiene a L(X) => (XU{v1}) è linearmente indipendente.
se XU{v1} non genera V => esiste v2 appartenente a V tale che v2 non appartiene a L(X)U{v1} => (XU{v1}U{v2}) è linearmente indipendente.
e così via fino ad ottenere un insieme XU{v1}U{v2}U....U{vk} che generi V.
Può reggere come dimostrazione?
Risposte
Può reggere, ma devi dimostrare che, ad un certo punto, il procedimento iterativo descritto si arresta (i.e. non puoi trovare più vettori linearmente indipendenti da [tex]$X\cup \{ v_1,\ldots ,v_k\}$[/tex]); ciò dipende da come hai definito la dimensione, ad occhio e croce.
"gugo82":
Può reggere, ma devi dimostrare che, ad un certo punto, il procedimento iterativo descritto si arresta (i.e. non puoi trovare più vettori linearmente indipendenti da [tex]$X\cup \{ v_1,\ldots ,v_k\}$[/tex]); ciò dipende da come hai definito la dimensione, ad occhio e croce.
Non saprei come fare..
per me era scontato, perchè se ho un insieme X di cardinalità k
una volta trovato il mio insieme $XU{v1,....vk}$ di cardinalità n, essendo X linearmente indipendente automaticamente sarà un sistema di generatori per V.
Con questa aggiunta dovrebbe andare bene in quanto [tex]$X$[/tex] ti risulterebbe un sistema di vettori linearmente indipendenti massimale ovvero una base. Solo un dubbio: come definisci la dimensione di uno spazio vettoriale su un campo?
emm... dico che la dimensione di uno spazio vettoriale V altro non è che la cardinalità di una qualunque sua base, e quindi il numero di vettori linearmente indipendenti che costituisconouna qualunque base dello spazio V.
Ma così devi dimostrare che tutte le basi hanno la stessa cardinalità. Altrimenti chi ti dice che non ci sia una base di $10$ elementi e una di $11$? Mi pare che quest'ultima proposizione richiede il teorema di completamento di una base, e così si crea un cortocircuito logico.
"dissonance":
Ma così devi dimostrare che tutte le basi hanno la stessa cardinalità. Altrimenti chi ti dice che non ci sia una base di $10$ elementi e una di $11$? Mi pare che quest'ultima proposizione richiede il teorema di completamento di una base, e così si crea un cortocircuito logico.
non richiede il teorema del completamento di una base.
infatti io lo dimostro così:
sia V uno spazio vettoriale finitamente generato.
siano B e B' due basi di V con cardinalità rispettivamente h e k.
se considero B la base e B' un sottoinsieme linearmente indipendente, allora si ha che k<=h (k minore o uguale ad h)
se invece considero B' la base e B il sottoinsieme linearmente indipendente, allora si ha che h<=k (h minore o uguale a k)
per cui risulta h=k. quindi due basi di uno stesso spazio vettoriale devono avere necessariamente stessa cardinalità.
il fatto che una base abbia sempre cardinalità maggiore o uguale rispetto ad un sottoinsieme di V linearmente indipendente lo so dimostrare ovviamente
Non vabbene in quanto distingui 2 casi distinti ed indipendenti (e.g.: [tex]$B$[/tex] base e [tex]$B'$[/tex] sistema libero) per cui non puoi dedurre da tale distinzione che [tex]$h=k$[/tex].
Nella tua dimostrazione iniziale dovresti tener presente anche una base, oppure lo hai escluso?
Nella tua dimostrazione iniziale dovresti tener presente anche una base, oppure lo hai escluso?
"j18eos":
Non vabbene in quanto distingui 2 casi distinti ed indipendenti (e.g.: [tex]$B$[/tex] base e [tex]$B'$[/tex] sistema libero) per cui non puoi dedurre da tale distinzione che [tex]$h=k$[/tex].
emm, questa dimostrazione l'ha fatta il mio docente. non ho capito però cosa intendi
no non ho considerato alcuna base nella prima dimostrazione.
Mi spiego meglio: alla fine dimostri che deve essere [tex]$h\leq k$[/tex] oppure [tex]$k\leq h$[/tex] ma non che tali disequazioni siano verificate assieme!
"j18eos":
Mi spiego meglio: alla fine dimostri che deve essere [tex]$h\leq k$[/tex] oppure [tex]$k\leq h$[/tex] ma non che tali disequazioni siano verificate assieme!
e come potrei dimostrarlo??
affinchè siano due basi di uno spazio vettoriale V, devono avere la stessa dimensione di V
"j18eos":
Vedi qui!
mmm...dovrò informarmi su ciò che è un sistema massimale di vettori linearmente indipendenti dato che non l'abbiamo mai accennato a lezione ^^
comunque a partire da questa dimostrazione forse posso riuscire a completare la mia.
grazie!!!
Prego, di nulla. 
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