Teorema del Completamento
Salve a tutti,
vorrei un aiuto su un passaggio della dimostrazione di questo teorema. La prima parte non ve la cito testualmente, la riscrivo come utile esercizio (odio queste frasi sui libri!!)
Poniamo che $B = (v_1, v_2, \cdots , v_n)$ sia una base di uno spazio vettoriale V, e che $w_1, w_2, \cdots, w_p$ sia un insieme di vettori linearmente indipendenti nello stesso spazio V, con $p \le n$. Un qualsiasi elemento $w_i$ può essere espresso come combinazione lineare della base:
$w_i = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n$.
Poniamo $p = 1$: l'indipendenza lineare del vettore $w_1$ è ovvia perché si tratta di un solo vettore; siccome almeno uno dei coefficienti $\alpha_j$ deve essere non nullo, supponiamo $\alpha_1 \ne 0$. Possiamo affermare quindi che
$v_1 = \frac{\w_1}{\alpha_1} - \frac{\alpha_2}{\alpha_1}v_2 - \cdots - \frac{\alpha_n}{\alpha_1}v_n \in Span(w_1, v_2, \cdots , v_n)$
A questo punto arriva la proposizione che non capisco (e qui cito testualmente):
Dunque $B sub Span(w_1, v_2, \cdots , v_n)$.
Dov'è il problema? Secondo me è che dato che possiamo scrivere $w_1$ come combinazione lineare della base, allor possiamo scrivere anche
$\beta_1(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n) + \beta_2 v_2 + \cdots + \beta_n v_n$
cioè $Span(v_1, v_2, cdots, \v_n)$ che è equivalente a $B$, e non incluso...
Dove sbaglio?
Grazie mille!
vorrei un aiuto su un passaggio della dimostrazione di questo teorema. La prima parte non ve la cito testualmente, la riscrivo come utile esercizio (odio queste frasi sui libri!!)
Poniamo che $B = (v_1, v_2, \cdots , v_n)$ sia una base di uno spazio vettoriale V, e che $w_1, w_2, \cdots, w_p$ sia un insieme di vettori linearmente indipendenti nello stesso spazio V, con $p \le n$. Un qualsiasi elemento $w_i$ può essere espresso come combinazione lineare della base:
$w_i = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n$.
Poniamo $p = 1$: l'indipendenza lineare del vettore $w_1$ è ovvia perché si tratta di un solo vettore; siccome almeno uno dei coefficienti $\alpha_j$ deve essere non nullo, supponiamo $\alpha_1 \ne 0$. Possiamo affermare quindi che
$v_1 = \frac{\w_1}{\alpha_1} - \frac{\alpha_2}{\alpha_1}v_2 - \cdots - \frac{\alpha_n}{\alpha_1}v_n \in Span(w_1, v_2, \cdots , v_n)$
A questo punto arriva la proposizione che non capisco (e qui cito testualmente):
Dunque $B sub Span(w_1, v_2, \cdots , v_n)$.
Dov'è il problema? Secondo me è che dato che possiamo scrivere $w_1$ come combinazione lineare della base, allor possiamo scrivere anche
$\beta_1(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n) + \beta_2 v_2 + \cdots + \beta_n v_n$
cioè $Span(v_1, v_2, cdots, \v_n)$ che è equivalente a $B$, e non incluso...
Dove sbaglio?
Grazie mille!
Risposte
riporto la dimostrazione del teorema del completamento e il lemma che serve per dimostarlo
e qui il mio primo dubbio perche $ B sub Span(w_1,v_2,...,v_n) $ ?ho capito che $ v_1 sub Span(w_1,v_2,...,v_n) $ ma non capisco come questo implichi che $ B sub Span(w_1,v_2,...,v_n) $.Ho pensato che il passaggio sarebbe giustificato se tutti gli $a_j$ non fossero nulli ma io posso dire che non sia nullo solo uno degli $a_j$ ed ho supposto fosse $a_1$.
procedendo con la dimostrazione:
e qui un mio ulteriore dubbio per ipotesi induttiva gli elementi di $V$ non dovrebbero arrestarsi ad $w_(p-1)$? e allora come posso dire che $w_p$=$a_1w_1...........$?
proseguendo ancora
e qui un altro dubbio:perchè si possa applicare il lemma 4.7 , $v_p$, che appartiene a $Span(W1,...,w_p,v_(p+1),...,v_n)$ dovrebbe essere un sistema di generatori di $V$ ma come può esserlo essendo un solo vettore? e poi da dove si vedrebbe che lo sia?
proseguendo ancora
e qui il mio ultimo dubbio : perche se $B_p=0$ allora tutti i $B_j$ sono uguali a zero? $gamma_j=B_j+B_pa_j$ dunque se $B_p=0$ dovrebbe risultare $gamma_j=B_j$
grazie in anticipo
e qui il mio primo dubbio perche $ B sub Span(w_1,v_2,...,v_n) $ ?ho capito che $ v_1 sub Span(w_1,v_2,...,v_n) $ ma non capisco come questo implichi che $ B sub Span(w_1,v_2,...,v_n) $.Ho pensato che il passaggio sarebbe giustificato se tutti gli $a_j$ non fossero nulli ma io posso dire che non sia nullo solo uno degli $a_j$ ed ho supposto fosse $a_1$.
procedendo con la dimostrazione:
e qui un mio ulteriore dubbio per ipotesi induttiva gli elementi di $V$ non dovrebbero arrestarsi ad $w_(p-1)$? e allora come posso dire che $w_p$=$a_1w_1...........$?
proseguendo ancora
e qui un altro dubbio:perchè si possa applicare il lemma 4.7 , $v_p$, che appartiene a $Span(W1,...,w_p,v_(p+1),...,v_n)$ dovrebbe essere un sistema di generatori di $V$ ma come può esserlo essendo un solo vettore? e poi da dove si vedrebbe che lo sia?
proseguendo ancora
e qui il mio ultimo dubbio : perche se $B_p=0$ allora tutti i $B_j$ sono uguali a zero? $gamma_j=B_j+B_pa_j$ dunque se $B_p=0$ dovrebbe risultare $gamma_j=B_j$
grazie in anticipo
Ciao DavideV
allora tu non capisci quando dice $ Bsub Span(w_1,v_2...,v_n) $
Per prima cosa considera che in $ Span(w_1,v_2...,v_n) $ naturalmente già troviamo $ w_1,...,v_n $ in quanto li possiamo ricavare da una combinazione lineare del tipo $ a_1w_1+...+a_nv_n $ ponendo tutti i coefficienti nulli escluso uno.
In più sappiamo che $ v_1=1/alpha_1 w_1+(-alpha_2/alpha_1)v_2+(-alpha_3/alpha_1)v_3+...+(-alpha_n/alpha_1)v_n $
per cui $ v_1 $ può essere visto come combinazione lineare degli elementi di $ w_1,v_2...,v_n $ e questo implica che $ v_1in Span(w_1,v_2,...,v_n) $.
Quindi appartengono $ w_1,v_2,...,v_n $ ma anche $ v_1 $ e noi sappiamo che $ B={v_1,...,v_n} $ per cui tutti gli elementi appartengono e quindi $ Bsub Span(w_1,v_2,...,v_n) $
allora tu non capisci quando dice $ Bsub Span(w_1,v_2...,v_n) $
Per prima cosa considera che in $ Span(w_1,v_2...,v_n) $ naturalmente già troviamo $ w_1,...,v_n $ in quanto li possiamo ricavare da una combinazione lineare del tipo $ a_1w_1+...+a_nv_n $ ponendo tutti i coefficienti nulli escluso uno.
In più sappiamo che $ v_1=1/alpha_1 w_1+(-alpha_2/alpha_1)v_2+(-alpha_3/alpha_1)v_3+...+(-alpha_n/alpha_1)v_n $
per cui $ v_1 $ può essere visto come combinazione lineare degli elementi di $ w_1,v_2...,v_n $ e questo implica che $ v_1in Span(w_1,v_2,...,v_n) $.
Quindi appartengono $ w_1,v_2,...,v_n $ ma anche $ v_1 $ e noi sappiamo che $ B={v_1,...,v_n} $ per cui tutti gli elementi appartengono e quindi $ Bsub Span(w_1,v_2,...,v_n) $
Ciao anche a te asromavale
alla prima delle tue 4 domande ho già risposto prima
2e3) allora devi sempre ricordare qual'è la tesi di partenza ovvero che $ (w_1,...,w_p)in V $
per ipotesi induttiva tu supponi che per $ p-1 $ vettori valga la condizione di indipendenza lineare e devi dimostrare che anche il p-esimo vettore è linearmente indipendente, il p-esimo vettore è $ w_p $ e dato che appartiene a V allora può essere scritto come combinazione lineare di una sua base. Per ipotesi induttiva siamo arrivati a dire che $ w_1,...,w_(p-1),v_p,...,v_n $ è una base per cui possiamo scrivere $ wp = alpha_1w_1+...+alpha_(p-1)w_(p-1)+alpha_pv_p+...+alpha_nv_n $
da cui $ v_p = (-alpha_1w_1-...-alpha_(p-1)w_(p-1)+w_p-...-alpha_nv_n)/alpha_p $
$ v_p = -alpha_1/alpha_pw_1-...-alpha_(p-1)/alpha_pw_(p-1)+1/alpha_pw_p-...-alpha_n/alpha_pv_n $
e ripetendo i passaggi di prima per dire che anche $ w_1,...,w_p,v_(p+1),...,v_n $ sono linearmente indipendenti dimostri l'ipotesi induttiva
4) abbiamo che tutti i coefficienti devono essere nulli e questi sono di due tipi
$ gamma_j=beta_j+beta_palpha_j AA j={1,...,p-1,p+1,...,n} $
e per $ gamma _p=beta _palpha_p $
allora deve essere $ beta _palpha_p=0 $ ma sappiamo che $ alpha_p != 0 rArr beta_p = 0 rArr beta_j+0*alpha_j=0 rArr beta_j=0 AA j $
spero di essere stato chiaro e di aiuto
alla prima delle tue 4 domande ho già risposto prima
2e3) allora devi sempre ricordare qual'è la tesi di partenza ovvero che $ (w_1,...,w_p)in V $
per ipotesi induttiva tu supponi che per $ p-1 $ vettori valga la condizione di indipendenza lineare e devi dimostrare che anche il p-esimo vettore è linearmente indipendente, il p-esimo vettore è $ w_p $ e dato che appartiene a V allora può essere scritto come combinazione lineare di una sua base. Per ipotesi induttiva siamo arrivati a dire che $ w_1,...,w_(p-1),v_p,...,v_n $ è una base per cui possiamo scrivere $ wp = alpha_1w_1+...+alpha_(p-1)w_(p-1)+alpha_pv_p+...+alpha_nv_n $
da cui $ v_p = (-alpha_1w_1-...-alpha_(p-1)w_(p-1)+w_p-...-alpha_nv_n)/alpha_p $
$ v_p = -alpha_1/alpha_pw_1-...-alpha_(p-1)/alpha_pw_(p-1)+1/alpha_pw_p-...-alpha_n/alpha_pv_n $
e ripetendo i passaggi di prima per dire che anche $ w_1,...,w_p,v_(p+1),...,v_n $ sono linearmente indipendenti dimostri l'ipotesi induttiva
4) abbiamo che tutti i coefficienti devono essere nulli e questi sono di due tipi
$ gamma_j=beta_j+beta_palpha_j AA j={1,...,p-1,p+1,...,n} $
e per $ gamma _p=beta _palpha_p $
allora deve essere $ beta _palpha_p=0 $ ma sappiamo che $ alpha_p != 0 rArr beta_p = 0 rArr beta_j+0*alpha_j=0 rArr beta_j=0 AA j $
spero di essere stato chiaro e di aiuto
ti ringrazio della puntualità delle risposte e del tempo dedicatomi
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