Teorema autovalori e autospazi di $A^2$

[ancileddu]

Salve a tutti..volevo sapere se esiste un teorema sul fatto che gli autovalori e gli autospazi di $A$ e di $A^2$ sono identici..con la dimostrazione..($A$ è una matrice xD) grazie mille..io ho cercato ovunque ma non riesco a trovarlo grazie...

[perplesso1]

Esiste questo:

Se $ \lambda $ è un autovalore di $ A $ allora $ \lambda ^ n $ è un autovalore di $ A^n $

Dimostrazione
Sia x un autovettore di $ A $ relativo all'autovalore $ \lambda $ allora $ Ax=\lambda x $ e quindi

$ A^2 x = A(Ax)= A(\lambda x) = \lambda Ax = \lambda^2 x $

e analogamente $ A^3 x = \lambda^3 x $ etc etc

[ancileddu]

ma così non sono uguali..$lambda != lambda^3$..invece il professore ha chiesto nell'esame di calcolare gli autospazi e gli autovalori di $A^2$ senza fare calcoli..dopo tante domande ci ha detto che erano uguali, però dovevamo dimostrarlo..non ho saputo farlo, ed è sicuro che domani lo chiederà nell'orale..

[ancileddu]

chiedo perdono..hai ragione..è questo il teorema..ti ringrazio..in effetti è proprio così..se $lambda$ è un autovalore di A e x è un autovettore di A, allora $lambda^2$ è autovalore di $A^2$ e x è un autvettore di A..grazie mille!