[Tensori]Definizione invariante per il gradiente
Nella varietà \(\mathbb{R}^n\), dette \(x^1 \ldots x^n\) le coordinate naturali consideriamo il campo tensoriale
\[\mathbf{X}=X^{i_1 \ldots i_r}_{j_1\ldots j_s}\frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \otimes \ldots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{i_r}}\otimes dx^{j_1} \otimes \ldots \otimes dx^{j_s}.\]
A partire da esso definiamo un nuovo campo tensoriale con un indice di covarianza in più:
\[\nabla \mathbf{X}=\frac{\partial X^{i_1 \ldots i_r}_{j_1\ldots j_s}}{\partial x^q}\frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \otimes \ldots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{i_r}}\otimes dx^{j_1} \otimes \ldots \otimes dx^{j_s}\otimes dx^q.\]
Osservazione Se \(\mathbf{X}=f\) è un campo scalare questa definizione coincide con il differenziale [size=95](*)[/size] di \(f\), che può essere descritto in modo invariante:
\[\nabla f (\mathbf{v})=\mathbf{v}(f),\]
per ogni campo vettoriale \(\mathbf{v}\). Mi chiedevo se fosse possibile dare simili caratterizzazioni invarianti anche per \(\nabla \mathbf{X}\), in modo da trovarne una definizione che non usi coordinate.
____________
(*) Di solito il simbolo \(\nabla\) denota il gradiente, non il differenziale. I due concetti sono però strettamente collegati. Dal punto di vista tensoriale, infatti, il gradiente (che è un vettore controvariante) è ottenuto dal differenziale (che è un vettore covariante) semplicemente sollevando l'unico indice di covarianza.
\[\mathbf{X}=X^{i_1 \ldots i_r}_{j_1\ldots j_s}\frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \otimes \ldots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{i_r}}\otimes dx^{j_1} \otimes \ldots \otimes dx^{j_s}.\]
A partire da esso definiamo un nuovo campo tensoriale con un indice di covarianza in più:
\[\nabla \mathbf{X}=\frac{\partial X^{i_1 \ldots i_r}_{j_1\ldots j_s}}{\partial x^q}\frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \otimes \ldots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{i_r}}\otimes dx^{j_1} \otimes \ldots \otimes dx^{j_s}\otimes dx^q.\]
Osservazione Se \(\mathbf{X}=f\) è un campo scalare questa definizione coincide con il differenziale [size=95](*)[/size] di \(f\), che può essere descritto in modo invariante:
\[\nabla f (\mathbf{v})=\mathbf{v}(f),\]
per ogni campo vettoriale \(\mathbf{v}\). Mi chiedevo se fosse possibile dare simili caratterizzazioni invarianti anche per \(\nabla \mathbf{X}\), in modo da trovarne una definizione che non usi coordinate.
____________
(*) Di solito il simbolo \(\nabla\) denota il gradiente, non il differenziale. I due concetti sono però strettamente collegati. Dal punto di vista tensoriale, infatti, il gradiente (che è un vettore controvariante) è ottenuto dal differenziale (che è un vettore covariante) semplicemente sollevando l'unico indice di covarianza.
Risposte
Mi sa che una risposta proprio elementare non c'è. Tocca ricorrere al concetto di connessione affine. Mi sto informando un po', (se e) quando arrivo ad una risposta ve la propongo.
Non ho ben capito cosa vuoi intendere con "definizione invariante": rispetto ad un sistema di coordinate? Da quello che dici, a me sembra invece che tu voglia definire il concetto di "derivata" (perché quello è) in maniera globale. Bé, allora quello che dici ti porta sulla strada giusta: devi usare il concetto di connessione lineare (affine), ovvero di operatore $RR$-lineare (o $KK$-lineare, a seconda di quale campo usi per definire lo spazio tangente alla varietà) $\nabla:\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\rightarrow\mathcal{X}(M)$, definito come $\nabla(X,Y)=\nabla_X Y$ e che gode delle proprietà seguenti
1) $\nabla_{fX} Y=f\nabla_X Y$;
2) $\nabla_X (fY)=f\nabla_X Y+X(f)\ Y$
dove $f\in C^\infty(M)$. In questo senso hai introdotto il concetto di "derivazione covariante" che risulta identico a quello che hai scritto prima ogniqualvolta $X=\partial/{\partial x^i}$
1) $\nabla_{fX} Y=f\nabla_X Y$;
2) $\nabla_X (fY)=f\nabla_X Y+X(f)\ Y$
dove $f\in C^\infty(M)$. In questo senso hai introdotto il concetto di "derivazione covariante" che risulta identico a quello che hai scritto prima ogniqualvolta $X=\partial/{\partial x^i}$
Eh si, adesso inizia a sembrarmi più chiaro. In pratica, a quanto mi pare di capire, prendere le derivate dei campi tensoriali non è una cosa proprio immediata: prima bisogna specificare una connessione e non è neanche detto che una connessione ci sia.
A questo punto vorrei approfittare della tua consulenza per capire un po' meglio il linguaggio. Perché si dice "connessione"? Che cos'è che connettiamo, non ho mica capito. E poi, "derivata covariante". Perché "covariante"? Forse questo gergo viene dalla rappresentazione indiciale.
A questo punto vorrei approfittare della tua consulenza per capire un po' meglio il linguaggio. Perché si dice "connessione"? Che cos'è che connettiamo, non ho mica capito. E poi, "derivata covariante". Perché "covariante"? Forse questo gergo viene dalla rappresentazione indiciale.
Allora, per prima cosa ti scrivo quello che, in "formule" se ti piace l'espressione, è la "derivata" di un tensore usando il simbolo di connessione lineare: Se $T$ è un tensore di tipo $(r,s)$, $X,\ X_1,\ldots, X_r$ campi vettoriali e $\omega_1,\ldots,\omega_s$ 1-forme allora puoi definire $\nabla_X T$ come il tensore di tipo $(r+1,s)$ che opera al modo seguente
$(\nabla_X T)(X_1,\ldots,X_r,\omega_1,\ldots,\omega_s)=X(T(X_1,\ldots,X_r,\omega_1,\ldots,\omega_s))$
$-\sum_{i=1}^r T(X_1,\ldots,\nabla_X X_i,\ldots,X_r,\omega_1,\ldots,\omega_s)-\sum_{j=1}^s T(X_1,\ldots,X_r,\omega_1,\ldots,\nabla_X \omega_j,\ldots,\omega_s)$
dove si intende che
$(\nabla_X \omega_j)Y=X(\omega_j(Y))-\omega_j(\nabla_X Y)$
è la derivata covariante di una 1-forma. Ovviamente, come arguivi tu stesso, da queste "definizioni" (alcuni in realtà ci arrivano come risultati, partendo dall'idea di "incollare" la definizione scritta da te prima su aperti non disgiunti) viene fuori il perché del termine covariante.
Per il termine "connessione lineare" invece, bisogna introdurre alcuni concetti relativi ai fibrati principali e alla (forma di) connessione su esso: dal momento che non ho idea quanto tu sappia al riguardo, ti accenno semplicemente che il termine "connessione" (che l'operatore $\nabla$ eredita come nome) dipende proprio da questa costruzione, in cui la connessione sui fibrati gioca il ruolo di connettere, in modo naturale, i sottospazi in cui si decompone lo spazio tangente associato al fibrato.
$(\nabla_X T)(X_1,\ldots,X_r,\omega_1,\ldots,\omega_s)=X(T(X_1,\ldots,X_r,\omega_1,\ldots,\omega_s))$
$-\sum_{i=1}^r T(X_1,\ldots,\nabla_X X_i,\ldots,X_r,\omega_1,\ldots,\omega_s)-\sum_{j=1}^s T(X_1,\ldots,X_r,\omega_1,\ldots,\nabla_X \omega_j,\ldots,\omega_s)$
dove si intende che
$(\nabla_X \omega_j)Y=X(\omega_j(Y))-\omega_j(\nabla_X Y)$
è la derivata covariante di una 1-forma. Ovviamente, come arguivi tu stesso, da queste "definizioni" (alcuni in realtà ci arrivano come risultati, partendo dall'idea di "incollare" la definizione scritta da te prima su aperti non disgiunti) viene fuori il perché del termine covariante.
Per il termine "connessione lineare" invece, bisogna introdurre alcuni concetti relativi ai fibrati principali e alla (forma di) connessione su esso: dal momento che non ho idea quanto tu sappia al riguardo, ti accenno semplicemente che il termine "connessione" (che l'operatore $\nabla$ eredita come nome) dipende proprio da questa costruzione, in cui la connessione sui fibrati gioca il ruolo di connettere, in modo naturale, i sottospazi in cui si decompone lo spazio tangente associato al fibrato.
1) Oh benissimo, hai toccato un tasto che sto faticando a capire. Infatti, col linguaggio delle derivazioni, diciamo che se c'è una connessione \(\nabla\) allora per ogni campo vettoriale \(X\) la formula che hai citato definisce una derivazione \(\nabla_X\) sull'algebra dei campi tensoriali (si intende che la derivazione conserva i tipi e commuta con le contrazioni). Quindi mediante \(\nabla\) sappiamo "calcolare le derivate dei campi tensoriali" in qualche senso.
Ora io mi chiedo: e c'era bisogno di definire questo concetto complicato di connessione? Se tu mi dai un campo vettoriale \(X\), io una derivazione so come definirla in modo naturale mediante il bracket:
\[\mathcal{L}_X f=Xf,\ \mathcal{L}_XY=[X, Y], \qquad \forall f \in C^\infty(M),\ Y\in \mathfrak{X}(M)\]
e poi estendendo agli altri campi tensoriali mediante formule analoghe a quella data da te. Fino a ieri, se tu mi avessi chiesto: "che cos'è l'analogo della derivata direzionale, per un campo tensoriale?" io ti avrei risposto "\(\mathcal{L}_X\)". Adesso invece salta fuori che questa risposta non va bene ci vuole un discorso più complicato. Perché?
P.S.: Naturalmente questa non è una vera domanda, nel senso che non c'è una risposta (univoca). Più che altro non sto riuscendo a quadrare i conti con l'intuizione: vedo tutte queste formule, ma non riesco a capire cosa significano.
2) DI "fibrato principale" ricordo di avere letto la definizione, tempo fa, ma non ne so nulla di più. Ma comunque ti ringrazio per la dritta, ora so dove cercare per chiarire questo punto (quando ne avrò occasione).
Ora io mi chiedo: e c'era bisogno di definire questo concetto complicato di connessione? Se tu mi dai un campo vettoriale \(X\), io una derivazione so come definirla in modo naturale mediante il bracket:
\[\mathcal{L}_X f=Xf,\ \mathcal{L}_XY=[X, Y], \qquad \forall f \in C^\infty(M),\ Y\in \mathfrak{X}(M)\]
e poi estendendo agli altri campi tensoriali mediante formule analoghe a quella data da te. Fino a ieri, se tu mi avessi chiesto: "che cos'è l'analogo della derivata direzionale, per un campo tensoriale?" io ti avrei risposto "\(\mathcal{L}_X\)". Adesso invece salta fuori che questa risposta non va bene ci vuole un discorso più complicato. Perché?
P.S.: Naturalmente questa non è una vera domanda, nel senso che non c'è una risposta (univoca). Più che altro non sto riuscendo a quadrare i conti con l'intuizione: vedo tutte queste formule, ma non riesco a capire cosa significano.
2) DI "fibrato principale" ricordo di avere letto la definizione, tempo fa, ma non ne so nulla di più. Ma comunque ti ringrazio per la dritta, ora so dove cercare per chiarire questo punto (quando ne avrò occasione).
Per il punto 1: prova a scriverti, in coordinate locali, tutta quella roba che io ti ho scritto in forma globale (basta usare come $X_j=\partial/{\partial x^j}$ e come $\omega^k=dx^k$, per semplificare le cose), e poi rifai la stessa cosa usando la derivata di Lie: ti accorgerai che "mancano" dei termini dovuti alla torsione e alla curvatura della varietà (e che saltano fuori usando il fatto che $\nabla_{X_j} X_k=\Gamma_{jk}^h X_h$, dove $\Gamma_{jk}^h$ sono i simboli di Christoffel della connessione). Per inciso, usando il formalismo locale si possono anche introdurre i concetti relativi alla forma di connessione: infatti si può definire $\nabla_{X_j} X=\omega^h_j(X) X_h$ e le 1-forme $\omega_j^h$ sono esattamente le forme di connessione associate a $\nabla$ (e che quindi definiscono il concetto di connessione sul fibrato).
Se hai ancora quella roba che ti spedii, lì c'è un po' di questi calcoli. Devo sempre trovare il tempo di sistemare tutto quel malloppo: potrebbe venire fuori una cosa simpatica da utilizzare e magari da mettere sul forum a disposizione per chi si avvicina in modo "pratico" allo studio della geometria differenziale! Tra l'altro tu mi hai detto che ti è servito, per cui credo che possa essere una valida "alternativa" a testi più prolissi o comunque meno leggeri quali il Kobayashi-Nomizu (testo eccezionale... ma per leggere 2 pagine ti serve un mese!)
Se hai ancora quella roba che ti spedii, lì c'è un po' di questi calcoli. Devo sempre trovare il tempo di sistemare tutto quel malloppo: potrebbe venire fuori una cosa simpatica da utilizzare e magari da mettere sul forum a disposizione per chi si avvicina in modo "pratico" allo studio della geometria differenziale! Tra l'altro tu mi hai detto che ti è servito, per cui credo che possa essere una valida "alternativa" a testi più prolissi o comunque meno leggeri quali il Kobayashi-Nomizu (testo eccezionale... ma per leggere 2 pagine ti serve un mese!)
Ho ripreso l'argomento dopo qualche mese. Ora vorrei capire meglio il ruolo della derivata di Lie nel concetto di connessione, fatto che deve avere importanza in geometria differenziale visto che, come nota Spivak (A comprehensive introduction to differential geometry, 3a ed. pag.156) il bracket compare nella definizione di (praticamente) *tutti* i tensori. Mi sono dato una spiegazione nei termini che seguono.
Intanto c'è un teorema:
Teorema Sia \(D\) una derivazione sull'algebra dei campi tensoriali della varietà \(M\), ovvero una applicazione \(\mathbb{R}\)-lineare che conserva i tipi, verifica la regola di Leibniz rispetto al prodotto tensoriale e commuta con le contrazioni. Allora esistono unici un campo vettoriale \(X\) e un campo tensoriale \(S\) di tipo \((1, 1)\) tali che
\[D=L_X+S, \]
dove \(L_X\) indica la derivata di Lie.
Quindi in particolare se su \(M\) è assegnata una connessione \(\nabla\) si ha per ogni \(X\)
\[\nabla_X=L_X+ S_X, \]
dove \(S_X\) è un campo tensoriale \((1, 1)\) che dipende dalla scelta di \(X\). Ora se noi scegliamo un sistema di coordinate \(x^1\ldots x^n\), possiamo scrivere
\[\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}} \left( Y^j\frac{\partial}{\partial x^j}\right)=\left( \frac{\partial Y^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j} \right)+ \left( Y^j \Gamma_{i j}{ }^k\frac{\partial}{\partial x^k}\right).\]
Il primo addendo coincide con la derivata di Lie \(L_{\partial / \partial x^i} Y\), quindi il secondo deve essere il campo tensoriale \(S_{\partial / \partial x^i}\), e in particolare per \(i\) fissata i simboli di Christoffel \(\Gamma_{(i)j}{ }^k\) si devono trasformare come un tensore (affermazione che vorrei verificare direttamente).
In questo senso alla derivata di Lie "mancano" dei termini: si tratta del contributo tensoriale dovuto ad \(S\). Nel caso dello spazio euclideo, i simboli di Christoffel rispetto ad un sistema di coordinate cartesiane ortonormali sono tutti nulli e quindi
\[\nabla_{\partial / \partial x^i}=L_{\partial / \partial x^i}.\]
Però anche in questo caso NON è vero che
\[\tag{!} \nabla_{X}Y=L_X Y\]
per arbitrari campi vettoriali \(X, Y\). Infatti il problema è che l'operatore \(L\) non è una connessione, perché non è tensoriale rispetto al primo argomento nel senso che non vale la proprietà
\[\nabla_{fX+gY}=f\nabla_X+g\nabla_Y, \qquad \forall f, g \in C^\infty.\]
E questo si può apprezzare bene osservando \(L_X Y \) in coordinate:
\[L_X Y= \left( X^i\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}-Y^i \frac{\partial X^j}{\partial x^i}\right)\frac{\partial}{\partial x^i},\]
compaiono derivate delle componenti di \(X\) che non dovrebbero esserci in un tensore.
Intanto c'è un teorema:
Teorema Sia \(D\) una derivazione sull'algebra dei campi tensoriali della varietà \(M\), ovvero una applicazione \(\mathbb{R}\)-lineare che conserva i tipi, verifica la regola di Leibniz rispetto al prodotto tensoriale e commuta con le contrazioni. Allora esistono unici un campo vettoriale \(X\) e un campo tensoriale \(S\) di tipo \((1, 1)\) tali che
\[D=L_X+S, \]
dove \(L_X\) indica la derivata di Lie.
Quindi in particolare se su \(M\) è assegnata una connessione \(\nabla\) si ha per ogni \(X\)
\[\nabla_X=L_X+ S_X, \]
dove \(S_X\) è un campo tensoriale \((1, 1)\) che dipende dalla scelta di \(X\). Ora se noi scegliamo un sistema di coordinate \(x^1\ldots x^n\), possiamo scrivere
\[\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}} \left( Y^j\frac{\partial}{\partial x^j}\right)=\left( \frac{\partial Y^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j} \right)+ \left( Y^j \Gamma_{i j}{ }^k\frac{\partial}{\partial x^k}\right).\]
Il primo addendo coincide con la derivata di Lie \(L_{\partial / \partial x^i} Y\), quindi il secondo deve essere il campo tensoriale \(S_{\partial / \partial x^i}\), e in particolare per \(i\) fissata i simboli di Christoffel \(\Gamma_{(i)j}{ }^k\) si devono trasformare come un tensore (affermazione che vorrei verificare direttamente).
In questo senso alla derivata di Lie "mancano" dei termini: si tratta del contributo tensoriale dovuto ad \(S\). Nel caso dello spazio euclideo, i simboli di Christoffel rispetto ad un sistema di coordinate cartesiane ortonormali sono tutti nulli e quindi
\[\nabla_{\partial / \partial x^i}=L_{\partial / \partial x^i}.\]
Però anche in questo caso NON è vero che
\[\tag{!} \nabla_{X}Y=L_X Y\]
per arbitrari campi vettoriali \(X, Y\). Infatti il problema è che l'operatore \(L\) non è una connessione, perché non è tensoriale rispetto al primo argomento nel senso che non vale la proprietà
\[\nabla_{fX+gY}=f\nabla_X+g\nabla_Y, \qquad \forall f, g \in C^\infty.\]
E questo si può apprezzare bene osservando \(L_X Y \) in coordinate:
\[L_X Y= \left( X^i\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}-Y^i \frac{\partial X^j}{\partial x^i}\right)\frac{\partial}{\partial x^i},\]
compaiono derivate delle componenti di \(X\) che non dovrebbero esserci in un tensore.
Mi sono riletto due volte queste ultime cose e non ho ben capito cosa vuoi dire: perché ti sembra strano che $L_X Y$ venga definito in quel modo? Voglio dire, prendiamo un sistema di riferimento del tipo $\partial/{\partial x^i}=\partial_i$, allora $L_{ij}=L_{\partial_i} \partial_j=0$, e queste componenti si comportano come quelle di un tensore.
Ehi ciao ciampax, non ti vedevo da un po' e non speravo che passassi di qua!
No, quello che dicevo era una specie di risposta a questo vecchio commento mio:
No, quello che dicevo era una specie di risposta a questo vecchio commento mio:
Fino a ieri, se tu mi avessi chiesto: "che cos'è l'analogo della derivata direzionale, per un campo tensoriale?" io ti avrei risposto "\(\mathcal{L}_X\)". Adesso invece salta fuori che questa risposta non va bene ci vuole un discorso più complicato. Perché?Una spiegazione è quella che la mappa \(L\colon \mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(M), (X, Y) \mapsto L_X Y\) NON è una connessione, perché non è \(C^\infty\)-lineare nel primo argomento (questo intendevo dicendo che "non è tensoriale nel primo argomento").
Ah, ok, ora sì. Scusa, pensavo intendessi che come "risultato" nel calcolo della derivata di Lie non ottieni un tensore (cosa che hai, invece, dal momento che ottieni un campo vettoriale).
Però a questo punto non mi è più chiaro il discorso che stai facendo: a te cosa interessa, in soldoni?
Però a questo punto non mi è più chiaro il discorso che stai facendo: a te cosa interessa, in soldoni?
In effetti stavo un po' parlando da solo, avevo fatto dei ragionamenti e li avevo riportati sul forum come esercizio per vedere se avevo capito bene.
Sto cercando di capire
\[\text{come si fanno le derivate dei tensori sulle varietà?}\]
e cosa significa tale operazione dal punto di vista analitico. Questo perché:
a) devo dare un esame di geometria Riemanniana e la questione è onnipresente, ma mi sembra che i geometri abbiano interesse solo per gli aspetti più algebrici della teoria;
b) sto leggendo (leggiucchiando, via) due libri di analisi sulle varietà (Aubin - Nonlinear Analysis on Manifolds e Hebey - Sobolev spaces on Riemannian manifolds) e loro queste cose le danno per note e le richiamano soltanto in due righe.
Al momento ho capito che in \(\mathbb{R}^n\) il problema non si pone, perché dato un campo tensoriale \(\mathbf{A}\) ha perfettamente senso definire
\[\tag{1} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x^i}(p):=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \mathbf{A}(p+he_i)-\mathbf{A}(p)\right)\]
e quindi, per un campo vettoriale \(X=(X^1 \ldots X^n)\),
\[\nabla_X A(p):= X^i(p)\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x^i}(p).\]
Su una varietà generica invece la \((1)\) non è fattibile, perché
[list=1][*:qf3ri7h1]non ha senso scrivere \(p+he_i\), non abbiamo in generale nozioni analoghe a quelle di "segmento" e di "traslazione"; [/*:m:qf3ri7h1]
[*:qf3ri7h1]non ha senso prendere una differenza di tipo \(\mathbf{A}(q)-\mathbf{A}(p)\) quando \(p, q\) sono punti diversi, perché i due tensori coinvolti appartengono a fibre diverse. [/*:m:qf3ri7h1][/list:o:qf3ri7h1]
Perciò avevo pensato che la generalizzazione "giusta" della \((1)\) fosse la derivata di Lie, motivato dalla formula (trovata su Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, vol. I, cap. 5):
\[\tag{2} L_X Y(p)= \lim_{ h \to 0} \frac{1}{h} \left( (\phi_{-h}(p))_\star Y_{\phi_h(p)}-Y_p\right), \]
dove \(\phi\) è il flusso [size=80](*)[/size] del campo \(X\) in un intorno di \(p\). Io vedo nella \((2)\) l'esatta generalizzazione della \((1)\) (nel caso in cui \(\mathbf{A}\) è un campo vettoriale) in cui i segmenti e le traslazioni sono stati sostituiti da linee integrali di \(X\) e push-forward lungo tali linee rispettivamente.
Il post precedente serviva a convincermi che c'è ancora del lavoro da fare e che \(L_X Y\) non è la "giusta" derivata, perché la derivata giusta è la derivata covariante.
Il prossimo passo è allora trovare una caratterizzazione tipo \((2)\) della derivata covariante. Penso che sia questione di geodetiche, che sto studiando adesso: fissata una connessione, si hanno delle geodetiche e immagino che la derivata covariante abbia a che fare con esse nella stessa maniera in cui la derivata di Lie ha a che fare con le linee integrali di \(X\). Se arrivo a qualche conclusione la riporto qua!
_______________
(*) Intendo una mappa \(\phi\colon (-\varepsilon, \varepsilon) \times U(p) \to M\), dove \(U(p)\) è un intorno di \(p\), tale che, per ogni \(q\), \(\{\phi_t(q)\}_t\) è una curva integrale di \(X\) e \(\phi_0(q)=q\).
Sto cercando di capire
\[\text{come si fanno le derivate dei tensori sulle varietà?}\]
e cosa significa tale operazione dal punto di vista analitico. Questo perché:
a) devo dare un esame di geometria Riemanniana e la questione è onnipresente, ma mi sembra che i geometri abbiano interesse solo per gli aspetti più algebrici della teoria;
b) sto leggendo (leggiucchiando, via) due libri di analisi sulle varietà (Aubin - Nonlinear Analysis on Manifolds e Hebey - Sobolev spaces on Riemannian manifolds) e loro queste cose le danno per note e le richiamano soltanto in due righe.
Al momento ho capito che in \(\mathbb{R}^n\) il problema non si pone, perché dato un campo tensoriale \(\mathbf{A}\) ha perfettamente senso definire
\[\tag{1} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x^i}(p):=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \mathbf{A}(p+he_i)-\mathbf{A}(p)\right)\]
e quindi, per un campo vettoriale \(X=(X^1 \ldots X^n)\),
\[\nabla_X A(p):= X^i(p)\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x^i}(p).\]
Su una varietà generica invece la \((1)\) non è fattibile, perché
[list=1][*:qf3ri7h1]non ha senso scrivere \(p+he_i\), non abbiamo in generale nozioni analoghe a quelle di "segmento" e di "traslazione"; [/*:m:qf3ri7h1]
[*:qf3ri7h1]non ha senso prendere una differenza di tipo \(\mathbf{A}(q)-\mathbf{A}(p)\) quando \(p, q\) sono punti diversi, perché i due tensori coinvolti appartengono a fibre diverse. [/*:m:qf3ri7h1][/list:o:qf3ri7h1]
Perciò avevo pensato che la generalizzazione "giusta" della \((1)\) fosse la derivata di Lie, motivato dalla formula (trovata su Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, vol. I, cap. 5):
\[\tag{2} L_X Y(p)= \lim_{ h \to 0} \frac{1}{h} \left( (\phi_{-h}(p))_\star Y_{\phi_h(p)}-Y_p\right), \]
dove \(\phi\) è il flusso [size=80](*)[/size] del campo \(X\) in un intorno di \(p\). Io vedo nella \((2)\) l'esatta generalizzazione della \((1)\) (nel caso in cui \(\mathbf{A}\) è un campo vettoriale) in cui i segmenti e le traslazioni sono stati sostituiti da linee integrali di \(X\) e push-forward lungo tali linee rispettivamente.
Il post precedente serviva a convincermi che c'è ancora del lavoro da fare e che \(L_X Y\) non è la "giusta" derivata, perché la derivata giusta è la derivata covariante.
Il prossimo passo è allora trovare una caratterizzazione tipo \((2)\) della derivata covariante. Penso che sia questione di geodetiche, che sto studiando adesso: fissata una connessione, si hanno delle geodetiche e immagino che la derivata covariante abbia a che fare con esse nella stessa maniera in cui la derivata di Lie ha a che fare con le linee integrali di \(X\). Se arrivo a qualche conclusione la riporto qua!
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(*) Intendo una mappa \(\phi\colon (-\varepsilon, \varepsilon) \times U(p) \to M\), dove \(U(p)\) è un intorno di \(p\), tale che, per ogni \(q\), \(\{\phi_t(q)\}_t\) è una curva integrale di \(X\) e \(\phi_0(q)=q\).
Ah, ok, ora è chiaro. Bé, posso dirti che l'ultima parte del tuo discorso è quella che contiene la risposta. In effetti c'è una maniera di scrivere $\nabla_X Y$ utilizzando i "flussi" (come gli hai definiti) e la cosa è collegata al concetto di "trasporto parallelo" (ma non chiedermi i dettagli ora che sono off-line con il cervello).
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