Tensori e prodotti tensoriali
Salve a tutti, ho qualche difficoltà nelle definizioni e nell'utilizzo di questi due concetti: tensori e prodotto tensoriale.
Quest'ultimo è stato introdotto in due modi diversi. Nel primo, si è detto che \(\displaystyle V\otimes W \) è dato dalle somme \(\displaystyle v_1\otimes w_1+v_2\otimes w_2+... \) tale che sia distributiva in entrambi i sensi e omogenea per il prodotto con scalari. Nell'altro, si è considerato lo spazio vettoriale libero $F$ su \(\displaystyle V\times W \) e lo si quozientato con una relazione tale da garantire le medesime proprietà. Nessuno di questi due approcci mi rende chiara una cosa: qual è una base di questo spazio? Cioè data \(\displaystyle e_i \) base di $V$ e \(\displaystyle f_j \) base di $W$, come esprimo la base di \(\displaystyle V\otimes W \) a partire da \(\displaystyle e_i \) ed \(\displaystyle e_j \)? Con \(\displaystyle e_i\otimes f_j \), per un totale di \(\displaystyle \dim V\cdot\dim W \) vettori?
La seconda cosa riguarda i tensori, anch'essi definiti in due modi. Prima abbiamo la definizione formale: un tensore del tipo (r,s) è una mappa multilineare da \(\displaystyle V^*\times...\times V^*\times V\times ...\times V \) a \(\displaystyle \mathbb{R} \). S'è detto anche che i tensori formano uno spazio vettoriale con base \(\displaystyle e_{j_1}\otimes...\otimes e_{j_r}\otimes\theta^{i_1}\otimes...\otimes\theta^{i_s} \). Quello che mi confonde qui è il doppio indice... non capisco perché si è introdotto e come leggerlo. Sarebbe a significare che posso rimescolare come mi pare l'ordine dei vettori della base e ottenere ogni volta un vettore diverso della base?
Il secondo modo in cui abbiamo visto i tensori è stato introducendoli a partire dai quadritensori di rango due, che per trasformazione delle coordinate si trasformano come prodotti di componenti di quadrivettori. Premettendo che questa frase mi rimane oscura, tralasciando la parte di fisica mi preme capire il significato della posizione degli indici. Si è detto che le componenti di un tensore possono essere di tre tipi: controvarianti $A^(ik)$, covarianti $A_(ik)$, e miste. Quello che non capisco è perché si parli di componenti se a cambiare è tutto il modo in cui scrivo i tensori. $A^(ik)$ non mi rappresenta tutto il tensore, piuttosto che solo delle componenti? Come fa quindi un tensore ad avere delle componenti controvarianti e delle componenti covarianti allo stesso tempo? Cioè, se ho una componente $A^(00)$, esiste nello stesso tensore anche $A_(00)$ o \(\displaystyle A_0^0 \)?
Poi ci hanno detto che è possibile alzare e abbassare liberamente gli indici di un tensore per passare da un tipo all'altro, e che questo processo fa cambiare segno alla componente, a meno che si tratti di quella temporale (la $0$). Perché succede questo?
Infine: come si legano le due definizioni? praticamente, ci hanno detto di vedere un tensore come una matrice se di rango due, come una matrice "cubica" stile tabella tridimensionale se di rango tre, e così via, ma non riesco a conciliare questa visione con l'aspetto formale...
So che sono un po' di domande anche stupide ma per essere un argomento importante è stato trattato veramente male in questo semestre e sto cercando di rimediare a delle lacune...
Quest'ultimo è stato introdotto in due modi diversi. Nel primo, si è detto che \(\displaystyle V\otimes W \) è dato dalle somme \(\displaystyle v_1\otimes w_1+v_2\otimes w_2+... \) tale che sia distributiva in entrambi i sensi e omogenea per il prodotto con scalari. Nell'altro, si è considerato lo spazio vettoriale libero $F$ su \(\displaystyle V\times W \) e lo si quozientato con una relazione tale da garantire le medesime proprietà. Nessuno di questi due approcci mi rende chiara una cosa: qual è una base di questo spazio? Cioè data \(\displaystyle e_i \) base di $V$ e \(\displaystyle f_j \) base di $W$, come esprimo la base di \(\displaystyle V\otimes W \) a partire da \(\displaystyle e_i \) ed \(\displaystyle e_j \)? Con \(\displaystyle e_i\otimes f_j \), per un totale di \(\displaystyle \dim V\cdot\dim W \) vettori?
La seconda cosa riguarda i tensori, anch'essi definiti in due modi. Prima abbiamo la definizione formale: un tensore del tipo (r,s) è una mappa multilineare da \(\displaystyle V^*\times...\times V^*\times V\times ...\times V \) a \(\displaystyle \mathbb{R} \). S'è detto anche che i tensori formano uno spazio vettoriale con base \(\displaystyle e_{j_1}\otimes...\otimes e_{j_r}\otimes\theta^{i_1}\otimes...\otimes\theta^{i_s} \). Quello che mi confonde qui è il doppio indice... non capisco perché si è introdotto e come leggerlo. Sarebbe a significare che posso rimescolare come mi pare l'ordine dei vettori della base e ottenere ogni volta un vettore diverso della base?
Il secondo modo in cui abbiamo visto i tensori è stato introducendoli a partire dai quadritensori di rango due, che per trasformazione delle coordinate si trasformano come prodotti di componenti di quadrivettori. Premettendo che questa frase mi rimane oscura, tralasciando la parte di fisica mi preme capire il significato della posizione degli indici. Si è detto che le componenti di un tensore possono essere di tre tipi: controvarianti $A^(ik)$, covarianti $A_(ik)$, e miste. Quello che non capisco è perché si parli di componenti se a cambiare è tutto il modo in cui scrivo i tensori. $A^(ik)$ non mi rappresenta tutto il tensore, piuttosto che solo delle componenti? Come fa quindi un tensore ad avere delle componenti controvarianti e delle componenti covarianti allo stesso tempo? Cioè, se ho una componente $A^(00)$, esiste nello stesso tensore anche $A_(00)$ o \(\displaystyle A_0^0 \)?
Poi ci hanno detto che è possibile alzare e abbassare liberamente gli indici di un tensore per passare da un tipo all'altro, e che questo processo fa cambiare segno alla componente, a meno che si tratti di quella temporale (la $0$). Perché succede questo?
Infine: come si legano le due definizioni? praticamente, ci hanno detto di vedere un tensore come una matrice se di rango due, come una matrice "cubica" stile tabella tridimensionale se di rango tre, e così via, ma non riesco a conciliare questa visione con l'aspetto formale...
So che sono un po' di domande anche stupide ma per essere un argomento importante è stato trattato veramente male in questo semestre e sto cercando di rimediare a delle lacune...
Risposte
Ciao. Premetto che non ho mai mai approfondito la questione.
Il resto per ora esula dalle mie competenze.
"rasakkandar":In attesa di altre risposte, prova a gettare un occhio su questo (è scritto da un fisico): l'avevo sbirciato non troppo tempo fa e una cosa simile è presente più o meno dall'esempio 1.7.2 in poi, spiegata con parole molto semplici.
Quest'ultimo è stato introdotto in due modi diversi. Nel primo, si è detto che \( \displaystyle V\otimes W \) è dato dalle somme \( \displaystyle v_1\otimes w_1+v_2\otimes w_2+... \) tale che sia distributiva in entrambi i sensi e omogenea per il prodotto con scalari. Nell'altro, si è considerato lo spazio vettoriale libero $ F $ su \( \displaystyle V\times W \) e lo si quozientato con una relazione tale da garantire le medesime proprietà. Nessuno di questi due approcci mi rende chiara una cosa: qual è una base di questo spazio? Cioè data \( \displaystyle e_i \) base di $ V $ e \( \displaystyle f_j \) base di $ W $, come esprimo la base di \( \displaystyle V\otimes W \) a partire da \( \displaystyle e_i \) ed \( \displaystyle e_j \)? Con \( \displaystyle e_i\otimes f_j \), per un totale di \( \displaystyle \dim V\cdot\dim W \) vettori?
Il resto per ora esula dalle mie competenze.
"rasakkandar":
[Q]ual è una base di questo spazio? Cioè data \(\displaystyle e_i \) base di $V$ e \(\displaystyle f_j \) base di $W$, come esprimo la base di \(\displaystyle V\otimes W \) a partire da \(\displaystyle e_i \) ed \(\displaystyle e_j \)? Con \(\displaystyle e_i\otimes f_j \), per un totale di \(\displaystyle \dim V\cdot\dim W \) vettori?
Precisamente; se vuoi, puoi trattare questi elementi come dei meri simboli, altrimenti, per dare loro una concretizzazione, puoi osservare che \(V\otimes W \cong \hom(V^\lor, W)\) e rappresentare i suoi vettori come applicazioni lineari \(\varphi : V^\lor\to W\).
La seconda cosa riguarda i tensori, anch'essi definiti in due modi. Prima abbiamo la definizione formale: un tensore del tipo (r,s) è una mappa multilineare da \(\displaystyle V^*\times...\times V^*\times V\times ...\times V \) a \(\displaystyle \mathbb{R} \). S'è detto anche che i tensori formano uno spazio vettoriale con base \(\displaystyle e_{j_1}\otimes...\otimes e_{j_r}\otimes\theta^{i_1}\otimes...\otimes\theta^{i_s} \). Quello che mi confonde qui è il doppio indice... non capisco perché si è introdotto e come leggerlo. Sarebbe a significare che posso rimescolare come mi pare l'ordine dei vettori della base e ottenere ogni volta un vettore diverso della base?
Potresti voler sapere cos'è un multiindice.
Infine: come si legano le due definizioni?
Come si lega la definizione astratta di un vettore con la sua rappresentazione in coordinate? Idem qui.
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