Tensori di Riemann e loro dimensione
Salve a tutti, come al solito ho il mio problema apparentemente difficile, ma che dopotutto anche uno che ha fatto un minimo di combinatoria dovrebbe essere in grado di risolvere (ho messo qui il post perché è effettivamente un tema di geometria differenziale).
Sia $M$ una varietà $n$ dimensionale.
Dati i tensori di curvatura di Riemann
$R_{ijkl}$
sappiamo che soddisfano le seguenti 3 proprietà:
(1) $R_{ijkl} = - R_{jikl} = - R_{ijlk}$
(2) $R_{ijkl} = R_{klij}$
(3) $R_{ijkl} + R_{jkil} + R_{kijl}=0$ (Identità di Bianchi)
Ora la mia domanda è: qual è la dimensione dello spazio vettoriale di questi tensori (presi in un singolo punto, ovvero la dimensione dello spazio vettoriale delle mappe 4-lineari $(T_pM)^4 \to RR$), sapendo che soddisfano queste proprietà? Mi spiego meglio e molto più semplicemente: in quanti modi posso scegliere una coppia ordinata $(i,j,k,l)$, con valori $i,j,k,l in \{1,...,n\}$ per cui valgono le seguenti proprietà? Quanti $R_{ijkl}$ linearmente indipendenti riesco a trovare?
Naturalmente lo spazio delle 4-mappe lineari ha dimensione $n^4$.
Il risultato dovrebbe essere $1/12 n^2(n^2-1)$, ma non ho idea di come arrivarci...
Ragionando sulle tre proprietà si deduce che:
dalla prima ottengo che per forza per non annullare $R$ bisogna avere $i ne j$, $k ne l$. $n$ possibilità per $i$ e $k$ e $n-1$ per $j$ e $l$.
dalla terza ottengo che la coppia $(ijk)$ viene permutata in modo da avere una permutazione pari e da qui non so proprio come continuare...mi vengono solo idee confuse che mi portano a girare in tondo...
Qualche idea?
Grazie mille.
Sia $M$ una varietà $n$ dimensionale.
Dati i tensori di curvatura di Riemann
$R_{ijkl}$
sappiamo che soddisfano le seguenti 3 proprietà:
(1) $R_{ijkl} = - R_{jikl} = - R_{ijlk}$
(2) $R_{ijkl} = R_{klij}$
(3) $R_{ijkl} + R_{jkil} + R_{kijl}=0$ (Identità di Bianchi)
Ora la mia domanda è: qual è la dimensione dello spazio vettoriale di questi tensori (presi in un singolo punto, ovvero la dimensione dello spazio vettoriale delle mappe 4-lineari $(T_pM)^4 \to RR$), sapendo che soddisfano queste proprietà? Mi spiego meglio e molto più semplicemente: in quanti modi posso scegliere una coppia ordinata $(i,j,k,l)$, con valori $i,j,k,l in \{1,...,n\}$ per cui valgono le seguenti proprietà? Quanti $R_{ijkl}$ linearmente indipendenti riesco a trovare?
Naturalmente lo spazio delle 4-mappe lineari ha dimensione $n^4$.
Il risultato dovrebbe essere $1/12 n^2(n^2-1)$, ma non ho idea di come arrivarci...
Ragionando sulle tre proprietà si deduce che:
dalla prima ottengo che per forza per non annullare $R$ bisogna avere $i ne j$, $k ne l$. $n$ possibilità per $i$ e $k$ e $n-1$ per $j$ e $l$.
dalla terza ottengo che la coppia $(ijk)$ viene permutata in modo da avere una permutazione pari e da qui non so proprio come continuare...mi vengono solo idee confuse che mi portano a girare in tondo...
Qualche idea?
Grazie mille.
Risposte
oggi sono riuscito a dimostrare questa cosa...
anyway non si chiama identità di bianchi, mi pare... l'identità di bianchi è un relazione differenziale (riferita quindi al campo tensoriale), mentre quella è una relazione sulle componenti (coordinate) del tensore in un singolo punto della varietà....
cmq l'idea (presa dal Landau e generalizzata) è:
- conta le coppie non ordinate di due elementi possibili $(a,b)$, con a diverso da b;
- considera quanti elementi puoi fare con coppie ordinate UGUALI (tipo ((a,b),(a,b)) oppure DIVERSE ((a,b)(c,d))- somma questi due elementi (in fondo sono i primi due addendi);
a questo punto hai inserito dentro tutte le prime condizioni, l'identià ciclica sulle coppie uguali è automaticamente verificata, rimane l'identità ciclica sulle coppie diverse... questa ti sottrae bin$(n,4)$ condizioni (ogni quaterna ti da una identità ciclica ed ognuna riduce di uno il numero di componenti indipendenti)...
alla fine, visto che so che sono stato confusionario il calcolo con i tre addendi espliciti è:
$(n(n-1))/2+(n(n-2)(n^2-1))/8-(n(n-1)(n-2)(n-3))/24$
cerca di convincerti di quanto sopra.... ciao!
anyway non si chiama identità di bianchi, mi pare... l'identità di bianchi è un relazione differenziale (riferita quindi al campo tensoriale), mentre quella è una relazione sulle componenti (coordinate) del tensore in un singolo punto della varietà....
cmq l'idea (presa dal Landau e generalizzata) è:
- conta le coppie non ordinate di due elementi possibili $(a,b)$, con a diverso da b;
- considera quanti elementi puoi fare con coppie ordinate UGUALI (tipo ((a,b),(a,b)) oppure DIVERSE ((a,b)(c,d))- somma questi due elementi (in fondo sono i primi due addendi);
a questo punto hai inserito dentro tutte le prime condizioni, l'identià ciclica sulle coppie uguali è automaticamente verificata, rimane l'identità ciclica sulle coppie diverse... questa ti sottrae bin$(n,4)$ condizioni (ogni quaterna ti da una identità ciclica ed ognuna riduce di uno il numero di componenti indipendenti)...
alla fine, visto che so che sono stato confusionario il calcolo con i tre addendi espliciti è:
$(n(n-1))/2+(n(n-2)(n^2-1))/8-(n(n-1)(n-2)(n-3))/24$
cerca di convincerti di quanto sopra.... ciao!
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