Tensori

[Carminep12]

So che è pieno di domande a riguardo, ma purtroppo non ho le basi per poterle capire. Studio ingegneria e di algebra lineare mi sono state spiegate varie cose, fra cui il significato di spazio vettoriale, applicazioni lineari e praticamente quasi nulla più. Ovviamente mi è anche stata fornita la definizione di matrice. Sui tensori però non so nulla. Mi sono stati presentati direttamente in scienza delle costruzioni (come semplici matrici), con relative applicazioni. Visto che non mi va di fare le cose meccanicamente e giusto "perché sono così" qualcuno può darmi una mano a capire un po' meglio? Grazie mille.

[Bokonon]

Compra un libro. Nel frattempo, guardati questo https://www.youtube.com/watch?v=K7f2pCQ ... ichaelPenn

[j18eos]

Io ti suggerisco di leggere Itskov - Tensor algebra and tensor analysis for engineers oppure Sharipov - Quick introduction to tensor analysis: sono stati più che consigliati nel corso dei decenni su questo forum!

[marco2132k]

Visto che sei eng, c'è anche S. Winitzki, Linear Algebra via Exterior Products.

[Magma1]

"Carmine12":So che è pieno di domande a riguardo, ma purtroppo non ho le basi per poterle capire. Studio ingegneria e di algebra lineare mi sono state spiegate varie cose, fra cui il significato di spazio vettoriale, applicazioni lineari e praticamente quasi nulla più. Ovviamente mi è anche stata fornita la definizione di matrice. Sui tensori però non so nulla. Mi sono stati presentati direttamente in scienza delle costruzioni (come semplici matrici), con relative applicazioni. Visto che non mi va di fare le cose meccanicamente e giusto "perché sono così" qualcuno può darmi una mano a capire un po' meglio? Grazie mille.

Sostanzialmente un tensore è un endomorfismo che prende un vettore $v $ e restituisce il vettore $A v$:
\begin{align*}
L_A : \mathbb{R}^n &\longrightarrow \mathbb{R}^n\\
v &\mapsto L_A(v)=Av
\end{align*}
con $v\in RR^n$ e $A$ matrice $n\times n$. Il tensore è una trasformazione lineare:
\begin{gather*}
A(\alpha_1 v_1 +\alpha_2 v_2)=\alpha_1Av_1+\alpha_2Av_2\\
(\beta_1 A+\beta_2B)v=\beta_1 Av+\beta_2 Bv
\end{gather*}
con $\alpha, beta\in \mathbbR$.

[dissonance]

"Magma":[...]
Sostanzialmente un tensore è un endomorfismo che prende un vettore $v $ e restituisce il vettore $A v$:

Eh magari fosse tutto qui

Quello è un caso particolare, un tensore cartesiano di ordine 2. Sono d'accordo che è il caso di gran lunga più importante. Ma non lo diciamo troppo forte perché se ci sentono geometri e relativisti sono dolori

[megas_archon]

Non capirò mai cosa ci sia di difficile nella proprietà universale del prodotto tensoriale; è il modo in cui ho finalmente capito cosa fossero i tensori, ed era prima di CT (fu, in effetti, una motivazione per impararla).

[j18eos]

Io, quando vedo un tensore, mi limito a fare i calcoli.

E se proprio serve: mi ricordo la proprietà universale di 'sti cosi...

Ci sono anche modi estremamente "contosi" per definirli, e questi ultimi li ho proprio rimossi dalla memoria!

[Magma1]

[ot]

"dissonance":
Eh magari fosse tutto qui

Quello è un caso particolare, un tensore cartesiano di ordine 2. Sono d'accordo che è il caso di gran lunga più importante.

Vero, mea culpa! Io mi son fermato alla definizione di tensore del quarto ordine ma non è mi mai capitato di usarla [/ot]

[Carminep12]

Grazie a tutti davvero. Seguirò i vostri consigli e cercherò il materiale che mi avete suggerito. Saluti a tutti!

[dissonance]

se ci sentono geometri e relativisti sono dolori

Non capirò mai cosa ci sia di difficile nella proprietà universale del prodotto tensoriale; è il modo in cui ho finalmente capito cosa fossero i tensori, ed era prima di CT (fu, in effetti, una motivazione per impararla).

Dimenticavo megas_archon oltre a geometri e relativisti

[nomeFantasioso]

[ot]

"megas_archon":Non capirò mai cosa ci sia di difficile nella proprietà universale del prodotto tensoriale; è il modo in cui ho finalmente capito cosa fossero i tensori, ed era prima di CT (fu, in effetti, una motivazione per impararla).

Mi accodo.
Anche io non ho una idea chiara di cosa siano i tensori.
Mi sono fermato a vettore, 1forma e tensore metrico -che nella mia testa è quella funzione lineare che permette di fare il prodotto scalare prendendo in ingresso 2 vettori, oppure quella cosa che permette di convertire un vettore in 1forma e viceversa-.
Visto che tu dici che hai capito finalmente cosa siano i tensori dalla proprietà universale del prodotto tensoriale sono curioso di sapere per te cosa sono i tensori, cioè, a cosa pensi quando pensi ad un tensore?
Cosa ti ha fatto capire il concetto?[/ot]

[megas_archon]

Visto che tu dici che hai capito finalmente cosa siano i tensori dalla proprietà universale del prodotto tensoriale sono curioso di sapere per te cosa sono i tensori, cioè, a cosa pensi quando pensi ad un tensore?
Cosa ti ha fatto capire il concetto?

Beh, allora: se \(V,W\) sono $K$-spazi vettoriali, \(V\otimes W\) rappresenta il funtore \(\lambda X.\text{Bil}(V\times W, X)\). Da questo (e unicamente da questo), con un po' di ingegno, si riescono a ricavare

1. la proprietà universale del prodotto tensoriale: esiste una applicazione bilineare universale \(\tau : V\times W \to V\otimes W\) con la proprietà che ogni applicazione bilineare \(\varphi : V\times W \to X\) induce un'unica applicazione lineare \(\overline\varphi : V\otimes W \to X\) con la proprietà che \(\overline\varphi \circ \tau = \varphi\).

2. una formulazione equivalente della proprietà universale: \(V\otimes W\) è lo spazio vettoriale, necessariamente unico a meno di un unico isomorfismo, tale che \[\hom_K(V\otimes W, X) \cong \hom_K(V,\hom_K(W,X))\cong \hom_K(W, \hom_K(V,X))\] naturalmente in tutte le variabili;

3. Le varie proprietà di associatività (\(V\otimes(W\otimes U)\cong (V\otimes W)\otimes U\)), simmetria (\(V\otimes W\cong W\otimes V\)), e le leggi di unità (\(V\otimes K \cong K\otimes V\cong V\)) valide per ogni $U,V,W$; la compatibilità coi duali, in dimensione finita: \((V\otimes W)^\lor \cong V^\lor\otimes W^\lor\), e quindi l'isomorfismo -sempre in dimensione finita!- \(\hom(V,W)\cong V^\lor\otimes W\), che dice esattamente cos'è una matrice: un (1,1)-tensore.

4. La costruzione dell'algebra universale di $V$, \[T^\downarrow V = \bigoplus_{n\ge 0} V^{\otimes n}\] dove \(V^{\otimes n}\) è definito induttivamente come \(V^{\otimes 0}:=K, V^{\otimes(1+n)} := V\otimes V^{\otimes n}\), che altro non è che il monoide libero su $V$, cioè la $K$-algebra libera generata dagli elementi di $V$; facendo questa costruzione anche al duale di $V$ e unendole tutte e due, si ottiene l'algebra dei tensori controvarianti, \[T^\uparrow V^\lor = \bigoplus_{n\ge 0} (V^\lor)^{\otimes n}\] e l'algebra completa dei tensori sia covarianti che controvarianti, \[T^\updownarrow V = \bigoplus_{n,m\ge 0} V^{\otimes n} \otimes (V^\lor)^{\otimes m}.\]

5. La caratterizzazione, in $T^\downarrow V$, dell'algebra simmetrica come quoziente di $T^\downarrow V$ rispetto all'ideale generato dagli elementi \([x,y] := x\otimes y - y\otimes x\) al variare di \(x,y\in V\), che altro non è (a meno di isomorfismo di $K$-algebre) che l'anello dei polinomi $K[\mathcal V]$ in un numero di indeterminate pari alla dimensione di $V$ su $K$;

6. La caratterizzazione, in $T^\downarrow V$ dell'algebra esterna come quoziente rispetto all'ideale generato dagli elementi della forma \(x\otimes x\) al variare di \(x\in V\), che diventa l'algebra esterna su $V$. Questa a sua volta diventa un oggetto universale, ma per vedere la sua proprietà universale bisogna considerare \(\bigwedge V\) come una algebra \(\mathbb Z/2\)-graduata (e allora è la superalgebra libera su $V$), o come un edge case dell'algebra di Clifford su $V$ (prendendo l'algebra di Clifford rispetto alla forma quadratica nulla su $V$).

Dal punto 4, perlomeno in dimensione finita, e usando la proprietà universale del monoide libero, si ottiene facilmente la rappresentazione di un tensore "puro" come un[a classe di equivalenza di una] tupla di elementi di \(V^n\), e di un generico tensore come una somma formale di tensori puri; la bilinearità fa il resto, e permette di scrivere la generica somma \(\sum a_{r} x_1\otimes \dots\otimes x_r\) come una combinazione lineare finita di prodotti \(e_{i_1}\otimes \dots \otimes e_{i_r}\) al variare degli \(e_j\) in una base di $V$; questo è il caso facile, perché se stessimo facendo prodotti tensori di moduli dovremmo combattere con l'idea altamente controintuitiva che \(\sum a_r x_1\otimes \dots\otimes x_r=0\) non implica che tutti i "monomi" \(x_1\otimes\dots\otimes x_r\) sono zero.

Mi fermo qui, perché è tardi, ma potrei andare avanti molto a lungo: come ho detto un attimo fa questa prospettiva rende semplice estendere queste costruzioni al caso dei moduli su anelli generici, e non su campi; alza il velo di mistero che esiste sulla definizione, le proprietà e gli usi del prodotto di Kronecker di matrici; rende possibile definire prodotti tensori su insiemi di cardinalità arbitraria (ma si comportano male, ad esempio \(K^{\otimes \aleph_0}\) non è isomorfo a \(K\) e in effetti non ha nemmeno dimensione numerabile su $K$...), rende possibile generalizzare queste nozioni al caso dei super spazi vettoriali (cioè i succitati spazi \(\mathbb Z/2\)-graduati) che sono (erano?) importanti in supersimmetria...

[Luca.Lussardi]

Ma per carità... ragazzi, si va sul Levi Civita se si vuole capire che cosa è un tensore, non si parte dall'algebra ma dalle espressioni differenziali su varietà.

[megas_archon]

Certo, e poi si prende una tavoletta di argilla e i conti si fanno lì, incidendola con uno stiletto, in alfabeto cuneiforme.

[Luca.Lussardi]

Io ho detto " per capire cosa è un tensore", è Levi Civita che li ha introdotti di fatto, non c'è niente di meglio che andare alla fonte, tutto il resto poi viene di conseguenza quando uno ha capito che cosa sono e a cosa servono.

[j18eos]

@megas_archon ...e i conti devono essere svolti in base \(63\)!

[megas_archon]

"Luca.Lussardi":Io ho detto " per capire cosa è un tensore", è Levi Civita che li ha introdotti di fatto, non c'è niente di meglio che andare alla fonte, tutto il resto poi viene di conseguenza quando uno ha capito che cosa sono e a cosa servono.

Certo, è esattamente così che si imparano le cose, analisi uno si prepara sui Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, come si usa il numero zero si impara leggendo il Brahmasphuṭasiddhānta di Brahmagupta, e...

Ma fame na carità (cit.)

[Luca.Lussardi]

Non ho mai detto quello, è ovvio che non si legge Newton per studiare l'analisi 1, ma il Levi Civita è del 1925, è perfettamente in linea con le nostre notazioni. Davo per scontato che una persona intelligente ci arrivasse...

[megas_archon]

"Luca.Lussardi":Non ho mai detto quello, è ovvio che non si legge Newton per studiare l'analisi 1, ma il Levi Civita è del 1925, è perfettamente in linea con le nostre notazioni. Davo per scontato che una persona intelligente ci arrivasse...

Mi dispiace, è surreale studiare la definizione di tensore su un testo del 1925.

[j18eos]

...e la Relatività Generale è stata proposta (come teoria) nel 1916: il testo l'ho letto (tradotto in italiano) e l'ho trovato "fresco"!

Come dice Luca Lussardi: i tensori furono introdotti da Levi Civita, con la notazione ancóra oggi in uso: perché non leggere il testo originale?

Altro discorso è studiare direttamente i tensori come elementi di un'algebra su un anello.

Poi, ovviamente, ogni persona si studiasse i tensori come più gli convenga e\o aggrada!