Tensore metrico e iperpiani tangenti
Ciao a tutti
In Relatività Generale, il principio di base è che è sempre possibile trovare, localmente, su una varietà M, un set di coordinate tali che \( g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + O(x^{2}) \) con \(\eta_{\mu \nu} = diag (-1, 1,1 ,1) \). Nel termine del secondo ordine ci sono le derivate seconde della metrica, che ( a quanto pare) non possono mai in generale essere prese nulle, mentre le derivate prime possono essere prese sempre uguali a zero.
Io ho giustificato questo fatto, sicuramente in maniera molta rozza, nel seguente modo. Considero la varietà come immersa in uno spazio di dimensione superiore, e la penso come una funzione \(f: R^{n}-> R \) (ad esempio una calotta sferica). Una funzione può essere sviluppata così intorno a un punto \( \vec{x_{0}} \): \( f( \vec{x} ) = f( \vec{x_{0}}) + \nabla f (\vec{x_{0}}) \cdot (\vec{x} - \vec{x_{0}}) + o( || \vec{x}- \vec{x_{0}} || ^{2} ) \). Questa è, a meno del termine del secondo ordine, l'equazione di un iperpiano tangente nel punto: da qui il termine in \(\eta_{\mu \nu} \) (un piano è piatto). Se però consideriamo anche il termine del secondo ordine, che corrisponde al fatto che il piano tangente è solo la migliore approssimazione lineare di quello che fa la varietà nel punto (mentre in realtà stiamo trascurando la curvatura della varietà) allora è inevitabile che vengano fuori le derivate seconde di \(g_{\mu \nu} \), che sono legate al tensore di Riemann.
Quello che mi chiedevo è se ci fosse una dimostrazione più elegante di questo fatto.
Grazie a tutti per l'attenzione
In Relatività Generale, il principio di base è che è sempre possibile trovare, localmente, su una varietà M, un set di coordinate tali che \( g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + O(x^{2}) \) con \(\eta_{\mu \nu} = diag (-1, 1,1 ,1) \). Nel termine del secondo ordine ci sono le derivate seconde della metrica, che ( a quanto pare) non possono mai in generale essere prese nulle, mentre le derivate prime possono essere prese sempre uguali a zero.
Io ho giustificato questo fatto, sicuramente in maniera molta rozza, nel seguente modo. Considero la varietà come immersa in uno spazio di dimensione superiore, e la penso come una funzione \(f: R^{n}-> R \) (ad esempio una calotta sferica). Una funzione può essere sviluppata così intorno a un punto \( \vec{x_{0}} \): \( f( \vec{x} ) = f( \vec{x_{0}}) + \nabla f (\vec{x_{0}}) \cdot (\vec{x} - \vec{x_{0}}) + o( || \vec{x}- \vec{x_{0}} || ^{2} ) \). Questa è, a meno del termine del secondo ordine, l'equazione di un iperpiano tangente nel punto: da qui il termine in \(\eta_{\mu \nu} \) (un piano è piatto). Se però consideriamo anche il termine del secondo ordine, che corrisponde al fatto che il piano tangente è solo la migliore approssimazione lineare di quello che fa la varietà nel punto (mentre in realtà stiamo trascurando la curvatura della varietà) allora è inevitabile che vengano fuori le derivate seconde di \(g_{\mu \nu} \), che sono legate al tensore di Riemann.
Quello che mi chiedevo è se ci fosse una dimostrazione più elegante di questo fatto.
Grazie a tutti per l'attenzione
Risposte
Quel che fai non è esattamente quel che ti serve; la matrice di $g$, che in coordinate scrivi come $g_{\mu\nu}$, non è la jacobiana della carta locale che scegli per parametrizzare la varietà dove vivi (di quest puoi convincerti pensando che nel caso dello spazio di Minkowski sarebbe l'identità), bensì una applicazione bilineare, ossia un elemento di $T(M)\otimes T(M)^\star$ (lo spazio dei tensori di rango (1,1), ovvero degli endomorfismi di $T(M)$).
Credo che il risultato che devi provare discenda dalla simmetria di $g$, e dal modo in cui trasformano le applicazioni bilineari (se $g$ è scritta in una certa base \(\mathcal E\) con la matrice $G$ e $g'$ in una certa base \(\mathcal E'\) con $G'$ allora $G' = P^t GP$). Più fortemente, dipende dalla definizione della metrica $g$, il fatto che stai usando le sole derivate seconde. Simmetria e positività di $g$ implicano che in una base (e quindi in ogni, grazie alla relazione precedente)
\[
g = \sum_{\mu\nu} g_{\mu\nu}\text{d}x_\mu\otimes\text{d}x_\nu
\] dove $g_{\mu\nu}$ è, per ogni coppia di indici, una matrice simmetrica e definita positiva, i cui ingressi sono funzioni lisce $\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}$. Se ora gli elementi di base $\text{d}x_\mu\otimes\text{d}x_\nu$ si caratterizzano come derivazioni ecco che ottieni quel che desideravi.
Credo che il risultato che devi provare discenda dalla simmetria di $g$, e dal modo in cui trasformano le applicazioni bilineari (se $g$ è scritta in una certa base \(\mathcal E\) con la matrice $G$ e $g'$ in una certa base \(\mathcal E'\) con $G'$ allora $G' = P^t GP$). Più fortemente, dipende dalla definizione della metrica $g$, il fatto che stai usando le sole derivate seconde. Simmetria e positività di $g$ implicano che in una base (e quindi in ogni, grazie alla relazione precedente)
\[
g = \sum_{\mu\nu} g_{\mu\nu}\text{d}x_\mu\otimes\text{d}x_\nu
\] dove $g_{\mu\nu}$ è, per ogni coppia di indici, una matrice simmetrica e definita positiva, i cui ingressi sono funzioni lisce $\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}$. Se ora gli elementi di base $\text{d}x_\mu\otimes\text{d}x_\nu$ si caratterizzano come derivazioni ecco che ottieni quel che desideravi.
Puoi costruire un sistema di riferimento localmente inerziale utilizzando le coordinate normali (di Riemann). Questo sistema di coordinate si costruisce utilizzando le geodetiche: dato un punto \(m\in\mathfrak{M}\), un vettore \(V\in T_m\mathfrak{M}\), esiste un'unica geodetica massimale \(\gamma_V\). Definisci la mappa esponenziale (ristretta)
\begin{align}
& \exp_m\colon T_m\mathfrak{M}\to\mathfrak{M}\\
&\exp_m\colon T_m\mathfrak{M}\ni V\mapsto \gamma_V(\lambda=1)\in\mathfrak{M}
\end{align}
si dimostra il
Lemma dell'intorno normale: Per ogni \(m\in\mathfrak{M}\) esistono un intorno \(\mathcal{V}\) di \(\vec{0}\in T_m\mathfrak{M}\) e un intorno \(\mathcal{U}\) di \(m\in\mathfrak{M}\) tali che \(\exp_m\colon\mathcal{V}\to\mathcal{U}\) è un diffeomorfismo. L'intorno \(\mathcal{U}\) è detto intorno normale di \(m\).
Considera quindi una base ortonormale \(\lbrace \vec{e}_j\rbrace_{j=1}^d\) in \(T_m\mathfrak{M}\) e definisci l'isomorfismo (di spazi vettoriali)
\begin{align}
&E\colon \mathbb{R}^d\simeq T_m\mathfrak{M}\\
&E\colon (x^1,\dots,x^d)\mapsto x^i\vec{e}_i
\end{align}
e definisci la carta locale
\begin{equation}
\left(\mathcal{U},\phi,\mathbb{R}^d\right),\quad\phi:=E^{-1}\circ\exp_m^{-1}\colon\mathcal{U}\to\mathbb{R}^d
\end{equation}
detta per l'appunto carta delle coordinate normali centrata in \(m\).
In questa carta hai che:
\begin{align}
& \exp_m\colon T_m\mathfrak{M}\to\mathfrak{M}\\
&\exp_m\colon T_m\mathfrak{M}\ni V\mapsto \gamma_V(\lambda=1)\in\mathfrak{M}
\end{align}
si dimostra il
Lemma dell'intorno normale: Per ogni \(m\in\mathfrak{M}\) esistono un intorno \(\mathcal{V}\) di \(\vec{0}\in T_m\mathfrak{M}\) e un intorno \(\mathcal{U}\) di \(m\in\mathfrak{M}\) tali che \(\exp_m\colon\mathcal{V}\to\mathcal{U}\) è un diffeomorfismo. L'intorno \(\mathcal{U}\) è detto intorno normale di \(m\).
Considera quindi una base ortonormale \(\lbrace \vec{e}_j\rbrace_{j=1}^d\) in \(T_m\mathfrak{M}\) e definisci l'isomorfismo (di spazi vettoriali)
\begin{align}
&E\colon \mathbb{R}^d\simeq T_m\mathfrak{M}\\
&E\colon (x^1,\dots,x^d)\mapsto x^i\vec{e}_i
\end{align}
e definisci la carta locale
\begin{equation}
\left(\mathcal{U},\phi,\mathbb{R}^d\right),\quad\phi:=E^{-1}\circ\exp_m^{-1}\colon\mathcal{U}\to\mathbb{R}^d
\end{equation}
detta per l'appunto carta delle coordinate normali centrata in \(m\).
In questa carta hai che:
[*:4jec1f15] le geodetiche sono segmenti uscenti da \(m\) con velocità \(V\), cioé \(\gamma_V(\lambda)=(\lambda V^1,\dots,\lambda V^d)\) dove \(V=V^j\partial_j\);[/*:m:4jec1f15]
[*:4jec1f15] le coordinate di \(m\) sono \((0,\dots,0)\);[/*:m:4jec1f15]
[*:4jec1f15] la metrica è della forma \(g_{ij}\big|_m=\delta_{ij}\) se la varietà è riemanniana mentre \(g_{ij}\big|_m=\eta_{ij}\) se la verietà è lorentziana;[/*:m:4jec1f15]
[*:4jec1f15]\({\Gamma^k}_{ij}\big|_m=0\) e da questo segue \(\partial_kg_{ij}\big|_m=0\).[/*:m:4jec1f15][/list:u:4jec1f15]
Puoi trovare i calcoli dei coefficienti del secondo ordine della metrica qui a pag. 30 (indicata dal lettore pdf).
@Lollo617 Stavo sognando o mi avevi scritto una domanda riguardo all'ultima implicazione? Metto la derivazione in spoiler perché secondo me ci puoi arrivare da solo 
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