Tavolo da biliardo
Non so se va bene la sezione
Comunque volevo proporre un problema:
Si prenda un triangolo equilatero e si consideri il suo centro geometrico nel quale si piazza ipoteticamente una pallina da biliardo, (il triangolo equilatero non è altro che il tavolo da biliardo), si assuma inoltre che la pallina, assimilabile a puntiforme, una volta colpita segua le regole dell'ottica negli urti contro le pareti del triangolo, ossia angolo di incidenza= angolo di riflessione, bene, la domanda è: trovare una funzione $f(n)$ che restituisca per ogni $n$ numero naturale l'angolo $alpha(n)$ con il quale deve essere colpita la pallina affinchè venga imbucata in uno dei vertici del triangolo dopo esattamente $n$ urti contro le pareti. Per gli angoli è preferibile usare i gradi sessagesimali, e inoltre non c'è un sistema di riferimento privilegiato per considerare l'angolo, basta che lo specifichiate.
In poche parole l'angolo $alpha(0)$ è $30$ gradi perché la pallina va direttamente in buca, l'angolo $alpha(1)$ è $90$ perché se lanciata perpendicolarmente ad una parete torna indietro nel vertice dopo l'urto.
Comunque volevo proporre un problema:
Si prenda un triangolo equilatero e si consideri il suo centro geometrico nel quale si piazza ipoteticamente una pallina da biliardo, (il triangolo equilatero non è altro che il tavolo da biliardo), si assuma inoltre che la pallina, assimilabile a puntiforme, una volta colpita segua le regole dell'ottica negli urti contro le pareti del triangolo, ossia angolo di incidenza= angolo di riflessione, bene, la domanda è: trovare una funzione $f(n)$ che restituisca per ogni $n$ numero naturale l'angolo $alpha(n)$ con il quale deve essere colpita la pallina affinchè venga imbucata in uno dei vertici del triangolo dopo esattamente $n$ urti contro le pareti. Per gli angoli è preferibile usare i gradi sessagesimali, e inoltre non c'è un sistema di riferimento privilegiato per considerare l'angolo, basta che lo specifichiate.
In poche parole l'angolo $alpha(0)$ è $30$ gradi perché la pallina va direttamente in buca, l'angolo $alpha(1)$ è $90$ perché se lanciata perpendicolarmente ad una parete torna indietro nel vertice dopo l'urto.
Risposte
Non si capisce se è un problema che devi risolvere tu, o lo proponi "al mondo".
E' il classico problema in cui c'è bisogno di un po' di "pensiero laterale", come il problema dei 9 puntini...
Comunque, la soluzione è quella sotto. La propongo da subito, tanto in questa forma è abbastanza "offuscata".
$f(n)=(180)/(\pi)arctan((5+3(-1)^(n+1)+6n)/(\sqrt3(1+(-1)^n+2n)))$
Prova a ragionarci su (non partendo dalla formula), anche se sicuramente l'hai già fatto.
Un grosso suggerimento è guardare al link sottostante (non subito
)
http://gwydir.demon.co.uk/jo/tess/triangle.gif
Se ancora non trovi il modo per ricavare la formula ne riparliamo.
E' il classico problema in cui c'è bisogno di un po' di "pensiero laterale", come il problema dei 9 puntini...
Comunque, la soluzione è quella sotto. La propongo da subito, tanto in questa forma è abbastanza "offuscata".
$f(n)=(180)/(\pi)arctan((5+3(-1)^(n+1)+6n)/(\sqrt3(1+(-1)^n+2n)))$
Prova a ragionarci su (non partendo dalla formula), anche se sicuramente l'hai già fatto.
Un grosso suggerimento è guardare al link sottostante (non subito
)http://gwydir.demon.co.uk/jo/tess/triangle.gif
Se ancora non trovi il modo per ricavare la formula ne riparliamo.
Effettivamente non ho ancora provato a risolverlo, ma se è quello il risultato definitivo devo ammettere che mi aspettavo qualcosa di meno articolato, comunque ti faccio sapere se ci cavo qualcosa o no.
Ho provato a costruire un triangolo con baricentro nel centro dell'origine degli assi x,y inscritto in un ipotetico cerchio unitario
http://www.wolframalpha.com/input/?i=tr ... 9A3%2F2%29
Ho provato a considerare solo un vertice del triangolo come buca del biliardo, tanto ha tripla simmetria ma analiticamente l'ho trovato troppo complesso da fare, ho visto la tua immagine, intendi tessellare il triangolo? c'avevo pensato anch'io ma non riesco a cavarci niente di buono.
Mi spieghi come ci sei arrivato al risultato? se è quello?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=tr ... 9A3%2F2%29
Ho provato a considerare solo un vertice del triangolo come buca del biliardo, tanto ha tripla simmetria ma analiticamente l'ho trovato troppo complesso da fare, ho visto la tua immagine, intendi tessellare il triangolo? c'avevo pensato anch'io ma non riesco a cavarci niente di buono.
Mi spieghi come ci sei arrivato al risultato? se è quello?
"Vulplasir":
Ho provato a considerare solo un vertice del triangolo come buca del biliardo, tanto ha tripla simmetria ma analiticamente l'ho trovato troppo complesso da fare, ho visto la tua immagine, intendi tessellare il triangolo?
Il trucco non è di suddividere il triangolo con altri triangoli interni, ma quello di "rispecchiare" il tavolo da biliardo originale su un piano infinito tassellato con triangoli.
Innanzitutto si parte da qui:
Invece di considrare il rimbalzo della pallina sulla parete del biliardo si immagina che la pallina prosegua oltre e vada su un biliardo speculare attaccato a quello di partenza. Gli angoli segnati con "a" sono ovviamente uguali. Questo è possibile solo se la tassellatura è altamente simmetrica, e ricopre totalmente il piano. In pratica è possibile solo con triangoli isosceli, rettangoli e quadrati.
Questo trucco ha il grosso vantaggio che adesso devo solo considerare delle linee rette e non più dei rimbalzi.
Ovvero, se nel piano tassellato (vedi figura sotto) la mia linea incontra un vertice, sono anche sicuro che nel mio biliardo originale, la pallina che rimbalza incontra uno dei 3 vertici del triangolo.
Le linee rosse partono da centri diversi solo per una questione grafica, altrimenti non si capiva nulla dal disegno.
Ci sono due insiemi di linee. Le prime 4 da sinistra hanno un numeri di rimbalzi dispari, le altre 4 fanno un numero di rimbalzi pari.
Il numero di rimbalzi è semplicemente il numero di lati di triangoli attraversati, prima di incontrare un vertice.
A questo punto si tratta solo di trovare l'angolo delle rette con un po' di trigonometria e con le coordinate dei vari vertici.
Vengono fuori due successioni di angoli, una per i rimbalzi pari e l'altra per i dispari, ma si possono fondere insieme usando il $(-1)^n$.
Perfetto 
, ho capito, grazie della disponibilità.
, ho capito, grazie della disponibilità.
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