Tangenti principali nell'origine
Sono a conoscenza di questo risultato:
Ho visto a lezione alcune applicazioni che rispettano tale regola. Mi è però sorto un dubbio. Considerando [tex]C:x^2 - y^2 + x^6 = 0[/tex] ho che il primo [tex]f_j[/tex] non identicamente nullo è [tex]f_2=x^2 - y^2[/tex]. Allora [tex]O[/tex] è un punto doppio e l'equazione del cono tangente è [tex]x^2 - y^2 = 0[/tex], ovvero ho un nodo con tangenti principali [tex]x-y=0[/tex], [tex]x+y=0[/tex]. Quel che non mi torna è che, disegnando la curva, nell'origine trovo una cuspide e non un nodo, ovvero dovrei trovare una sola tangente principale con molteplicità doppia. Dove sto sbagliando?
Se [tex]C:f(x,y)=0[/tex] è una curva piana affine di grado [tex]d[/tex], allora esprimendo [tex]f=f_0 + f_1 + ... + f_d[/tex] con [tex]f_j[/tex] somma dei monomi di grado [tex]j[/tex], ho che la molteplicità della curva in [tex]O=(0,0)[/tex] è [tex]\mu_O(C)=min\{j|f_j \neq 0\}=:m[/tex] e l'equazione del cono tangente è data da [tex]f_m = 0[/tex].
Ho visto a lezione alcune applicazioni che rispettano tale regola. Mi è però sorto un dubbio. Considerando [tex]C:x^2 - y^2 + x^6 = 0[/tex] ho che il primo [tex]f_j[/tex] non identicamente nullo è [tex]f_2=x^2 - y^2[/tex]. Allora [tex]O[/tex] è un punto doppio e l'equazione del cono tangente è [tex]x^2 - y^2 = 0[/tex], ovvero ho un nodo con tangenti principali [tex]x-y=0[/tex], [tex]x+y=0[/tex]. Quel che non mi torna è che, disegnando la curva, nell'origine trovo una cuspide e non un nodo, ovvero dovrei trovare una sola tangente principale con molteplicità doppia. Dove sto sbagliando?
Risposte
In generale, dedurre proprieta' geometriche di una curva (o di una ipersuperficie algebrica) "dal disegno" e' parecchio fuorviante. Te ne accorgi studiando curve come ipo ed epicicloidi, stelloidi, fiori ad m petali, etc...
Uno studio coerente si ottiene pensando, come ogni geometra algebrico e' uso fare, il piano affine immerso nel piano proiettivo, e i reali immersi nei complessi. In tal modo i punti della curva sono in corrispondenza con i punti del piano proiettivo soluzioni dell'equazione polinomiale
[tex]X_0^4X_1^2-X_0^4X_2^2-X_1^6=0[/tex]
(in sostanza, immagine del polinomio [tex]x^2-y^2+x^6[/tex] via la mappa di omogeneizzazione)
Se studi quella curva, ti accorgi che ha due punti singolari (due dei tre punti fondamentali del riferimento canonico) e pero' gli scheletri affini non aiutano a visualizzarli. Solo quello nella disomogeneizzazione canonica mostra che la curva e' simile a una lemniscata, con un ipernodo (molteplicita' 6 di intersezione con il complesso tangente) nell'origine affine usuale.
La curva complessa mostrerebbe che, disomogeneizzando rispetto a [tex]X_2[/tex], c'e' una tangente di molteplicita' 4 che interseca la curva con molteplicita' 6, ma se provi a disegnare la curva reale [tex]x^4 y^2-x^4-y^6[/tex] "non trovi nulla".
Uno studio coerente si ottiene pensando, come ogni geometra algebrico e' uso fare, il piano affine immerso nel piano proiettivo, e i reali immersi nei complessi. In tal modo i punti della curva sono in corrispondenza con i punti del piano proiettivo soluzioni dell'equazione polinomiale
[tex]X_0^4X_1^2-X_0^4X_2^2-X_1^6=0[/tex]
(in sostanza, immagine del polinomio [tex]x^2-y^2+x^6[/tex] via la mappa di omogeneizzazione)
Se studi quella curva, ti accorgi che ha due punti singolari (due dei tre punti fondamentali del riferimento canonico) e pero' gli scheletri affini non aiutano a visualizzarli. Solo quello nella disomogeneizzazione canonica mostra che la curva e' simile a una lemniscata, con un ipernodo (molteplicita' 6 di intersezione con il complesso tangente) nell'origine affine usuale.
La curva complessa mostrerebbe che, disomogeneizzando rispetto a [tex]X_2[/tex], c'e' una tangente di molteplicita' 4 che interseca la curva con molteplicita' 6, ma se provi a disegnare la curva reale [tex]x^4 y^2-x^4-y^6[/tex] "non trovi nulla".
Non ho capito tutto di quello che mi hai scritto (non sono ad un livello così avanzato 
) ma ti ringrazio comunque. Rifacendo i calcoli ho trovato che semplicemente avevo sbagliato vergognosamente l'idea che mi ero fatto perchè al momento del disegno l'avevo trascritta male.
) ma ti ringrazio comunque. Rifacendo i calcoli ho trovato che semplicemente avevo sbagliato vergognosamente l'idea che mi ero fatto perchè al momento del disegno l'avevo trascritta male.
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