Tangenti ad una conica
Ciao a tutti avrei bisogno di un chiarimento sui punti doppi e punti
semplici, spero di riuscire a spiegarmi.
Due rette passanti per un punto P esterno ad una conica non degenere sono
tangenti alla stessa in due punti distinti della curva ed ognuno di questi
punti è doppio per la conica.
Se il punto P appartiene alla curva è come se da P passassero due rette
coincidenti tangenti alla curva in P ciascuna con un punto di intersezione
doppio?
Grazie a tutti !
semplici, spero di riuscire a spiegarmi.
Due rette passanti per un punto P esterno ad una conica non degenere sono
tangenti alla stessa in due punti distinti della curva ed ognuno di questi
punti è doppio per la conica.
Se il punto P appartiene alla curva è come se da P passassero due rette
coincidenti tangenti alla curva in P ciascuna con un punto di intersezione
doppio?
Grazie a tutti !
Risposte
Dato un punto $P$ esterno ad una conica non degenere $Gamma$ esistono due rette $r_1,r_2$ che passano per $P$ ed intersecano $Gamma$ ognuna in un punto con molteplicità 2:$Gamma nn r_1=2*P_1,Gamma nn r_2=2*P_2$ (sono tangenti in quel punto).
Questi due punti $P_1,P_2$ non sono doppi per la conica che se è non degenere ha solo punti semplici.
Dato un punto $P$ su $Gamma$ esiste una retta che interseca $Gamma$ solamente in $P$ con molteplicità 2.
Se qualcosa non è chiaro chiedi pure.
Questi due punti $P_1,P_2$ non sono doppi per la conica che se è non degenere ha solo punti semplici.
Dato un punto $P$ su $Gamma$ esiste una retta che interseca $Gamma$ solamente in $P$ con molteplicità 2.
Se qualcosa non è chiaro chiedi pure.
Chiedo scusa riguardo l'utilizzo improprio del forum.
Prova con questo link dovrebbe funzionare: http://senduit.com/aa9394 (dopo la carellata degli sponsor dovrebbe comparire la finestra per il download del file "coniche.pdf").
Grazie
ciao
Prova con questo link dovrebbe funzionare: http://senduit.com/aa9394 (dopo la carellata degli sponsor dovrebbe comparire la finestra per il download del file "coniche.pdf").
Grazie
ciao
Ora ho capito meglio:
prendi un punto fuori dalla conica, ci sono due rette tangenti alla conica che passano per il punto, queste due rette formano una conica ed hai l'equazione di questa conica (10.18) che è di grado 2.
Ora se calcoli la (10.18) in un punto P della conica l'equazione resta di grado due e siccome descrive le tg alla conica nel punto e ce ne è una sola allora l'equazione per essere di secondo grado sarà l'equazione della retta tangente al quadrato (per questo contata 2 volte, "reali e coincidenti")
Non capisco bene la domanda su $(lambda,mu)$ coincidenti per ogni retta tg, cerco di rispondere ma non sono sicuro:
Prendi una retta r: $lambda X+ mu X'$ se la retta è tg troverai una soluzione $(bar lambda,bar mu)$ doppia per l'intersezione con la conica, osserva che la coppia $(bar lambda,bar mu)$ soluzione non è univocamente determinata dalla retta dipende dai punti $X,X'$ presi per descriverla però il punto di intersezione sarà sempre lo stesso.
Se prendi un'altra retta s potrai scriverla $lambda Y+mu Y'$ di nuovo se la retta è tg avrai una soluzione doppia $(bar lambda,bar mu)$ per l'intersezione con la conica che in generale sarà diversa dalla soluzione per la retta r e dipenderà dai punti scelti per rappresentare s.
Mi auguro di essermi spiegato decentemente, in caso chiedi di nuovo
prendi un punto fuori dalla conica, ci sono due rette tangenti alla conica che passano per il punto, queste due rette formano una conica ed hai l'equazione di questa conica (10.18) che è di grado 2.
Ora se calcoli la (10.18) in un punto P della conica l'equazione resta di grado due e siccome descrive le tg alla conica nel punto e ce ne è una sola allora l'equazione per essere di secondo grado sarà l'equazione della retta tangente al quadrato (per questo contata 2 volte, "reali e coincidenti")
Non capisco bene la domanda su $(lambda,mu)$ coincidenti per ogni retta tg, cerco di rispondere ma non sono sicuro:
Prendi una retta r: $lambda X+ mu X'$ se la retta è tg troverai una soluzione $(bar lambda,bar mu)$ doppia per l'intersezione con la conica, osserva che la coppia $(bar lambda,bar mu)$ soluzione non è univocamente determinata dalla retta dipende dai punti $X,X'$ presi per descriverla però il punto di intersezione sarà sempre lo stesso.
Se prendi un'altra retta s potrai scriverla $lambda Y+mu Y'$ di nuovo se la retta è tg avrai una soluzione doppia $(bar lambda,bar mu)$ per l'intersezione con la conica che in generale sarà diversa dalla soluzione per la retta r e dipenderà dai punti scelti per rappresentare s.
Mi auguro di essermi spiegato decentemente, in caso chiedi di nuovo
Grazie per la risposta.
Relativamente alla coppia di valori (λ,µ) intendevo dire che l'equazione matriciale 10.18 al quadrato ha come soluzioni due valori coincidenti X1=X2 pertanto, la 10.8 restituisce due coppie di valori cincicenti (λ,µ) per X1 ed altre due coppie di valori coincidenti per X2.
Spero di essermi spiegato.
ciao
Se conosci buoni testi di geometria fammelo sapere.
Relativamente alla coppia di valori (λ,µ) intendevo dire che l'equazione matriciale 10.18 al quadrato ha come soluzioni due valori coincidenti X1=X2 pertanto, la 10.8 restituisce due coppie di valori cincicenti (λ,µ) per X1 ed altre due coppie di valori coincidenti per X2.
Spero di essermi spiegato.
ciao
Se conosci buoni testi di geometria fammelo sapere.
ho sbagliato i riferimenti alle equazioni nel mio post precedente parlavo dell'equazione 10.17 (mi pare almeno)
l'equazione 10.18 ti dice se la retta individuata da due punti P,P' di coordinate X,X' è tangente alla conica.
cosa vuol dire avere due soluzioni doppie? tu hai l'equazione della conica diciamo $f(X)=0$ ed hai una retta qualunque individuata da due suoi punti $lambdaX+mu X'$
come faccio a trovare i punti di intersezione? calcolo $f(lambda X+mu X')=0$ (questa è un'equazione di secondo grado in $lambda,mu$ provare per credere
)
ora se la retta è tangente avrà un solo punto di intersezione, ad un punto corrisponde una coppia $(bar lambda, bar mu)$ che è doppia. Una soluzione è una coppia di valori, avere due soluzioni coincidenti vuol dire avere due coppie uguali (ma non sarà $lambda=mu$) vuol dire avere $(lambda_1,mu_1)=(lambda_2,mu_2)$.
Non conosco buoni libri di geometria, mi dispiace.
Dimmi se ti torna, se ho centrato il problema e se vuoi che ti faccio un esempio. ciao
l'equazione 10.18 ti dice se la retta individuata da due punti P,P' di coordinate X,X' è tangente alla conica.
cosa vuol dire avere due soluzioni doppie? tu hai l'equazione della conica diciamo $f(X)=0$ ed hai una retta qualunque individuata da due suoi punti $lambdaX+mu X'$
come faccio a trovare i punti di intersezione? calcolo $f(lambda X+mu X')=0$ (questa è un'equazione di secondo grado in $lambda,mu$ provare per credere
)ora se la retta è tangente avrà un solo punto di intersezione, ad un punto corrisponde una coppia $(bar lambda, bar mu)$ che è doppia. Una soluzione è una coppia di valori, avere due soluzioni coincidenti vuol dire avere due coppie uguali (ma non sarà $lambda=mu$) vuol dire avere $(lambda_1,mu_1)=(lambda_2,mu_2)$.
Non conosco buoni libri di geometria, mi dispiace.
Dimmi se ti torna, se ho centrato il problema e se vuoi che ti faccio un esempio. ciao
Grazie 1000 sei stato di grande aiuto.
Se oggi riesco ti mando un esempio per farti capire meglio dove mi sono incasinato.
Ciao
Se oggi riesco ti mando un esempio per farti capire meglio dove mi sono incasinato.
Ciao
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