Tangente circonferenza

[duff18-votailprof]

Ho pensato di procedere a ritroso utilizzando la regola di sdoppiamento:

$x_0x + y_0y-2alpha((x_0+x)/2)-2beta((y_0+y)/2) + gamma = 0 $

Quindi sostituendo al posto di $x_0,y_0$ le coordinate del punto A, trovo:

$x(-1-alpha) + y(3-beta) + (+alpha-gamma-3beta)=0$

$ { ( -1-alpha=2),( 3-beta=1 ),( alpha+gamma-3beta=-1):} $

e cosi trovo i valori per $alpha, beta ,gamma$ (che tra l'altro corrispondono a quelli del punto 1))
ciò mi sembra sbagliato perchè soltanto conoscendo la tangente e il punto di tangenza non si può determinare una circonferenza.
dove sbaglio?

Grazie

[mistake89]

Se hai la tangente ed il suo punto di tangenza, allora il centro si troverà sulla retta per $A$ perpendicolare a $a$.

Quindi nel caso 1) basta fare il sistema tra la retta per $A$ perpendicolare ad $a$ e la retta $s$.
Nel caso 2) considera un generico punto della retta $a$, ed imponendo che la distanza di $A$ e $B$ sia uguale, ottieni le coordinate del centro.

Se non riesci ancora ti do una mano.
Ciao

[duff18-votailprof]

Si la soluzione la conoscevo già, ma mi interessava sapere cosa c'è di sbagliato nel ragionamento che ho fatto

[Iris26]

Veramente carino questo quesito, ormai ci cascavo anch'io!
Effettivamente il sistema impostato ammette solo quella terna di soluzioni, e non vedo alcun errore.
Il fatto è che se moltiplichi l'equazione della retta tangente per un numero (es, per 2, $ 4x + 2y-2=0 $) la retta resta la stessa ma i coefficienti da inserire nel sistema cambiano.
Morale della favola: ci sono infiniti sistemi, uno per ogni valore moltiplicativo, così come ci sono infinite circonferenze tangenti alla retta data nel punto A.
In pratica il sistema andrebbe impostato con una costante moltiplicativa quindi i secondi membri diventerebbero: 2k, k e -k. Risolvendo il sistema ovviamente rimane il parametro che andrà determinato sfruttando l'ulteriore condizione, caso per caso.
Ciao!

[duff18-votailprof]

Molto interessante,
ho risolto con l'ulteriore condizione e tutto torna, grazie mille!

[franced]

L'esercizio può essere risolto ricorrendo al fascio di circonferenze tangenti alla retta $2 x + y - 1 = 0$
nel suo punto $A(-1,3)$:

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 + lambda (2 x + y - 1) = 0$ .